Ero sivun ”Analyyttinen lukuteoria” versioiden välillä

'''Analyyttinen lukuteoria''' on lukuteorian osa-alue, jossa lukuteorian ongelmiinongelmien ratkaisemiseen käytetään matemaattisen analyysin menetelmiä. Ensimmäinen merkittävä analyysiä lukuteoriaan soveltamalla saatu tulos oli todistus [[Dirichlet'n lause alkuluvuista aritmeettisessä lukujonossa|Dirichlet'n lauseelle alkuluvuista aritmeettisessä lukujonossa]]. Myös [[alkulukulause|alkulukulauseen]] todistus oli merkittävätärkeä merkkipaalu analyyttisen lukuteorian historiassa.

Analyyttisen lukuteorian kehitys on jatkunut yhtä vilkkaana kuin kukoistuskaudellaan 1930-luvulla. '''Multiplikatiivinen lukuteoria''' käsittelee [[alkuluku]]ja ja [[Dirichlet'n sarja|Dirichlet'n sarjoja]]. Samoja menetelmiä on koitettupyritty yleistääyleistämään yleisille [[L-sarja|L-sarjoille]], mutta tässä teoriassa on vielä paljon ratkaisemattomia ongelmia. Tyypillisiä onglemiaongelmia [[additiivinen lukuteoria|additiivisessaadditiivisen lukuteoriassalukuteorian]] onongelmia ovat muun muassa [[Goldbachin konjektuuri]] ja [[Waringin probleema]].

Analyyttisen lukuteorian menetelmät ovat muuttuneet jonkin verran ajan mukanakuluessa. [[Hardy]]n ja [[Littlewood]]in ''ympyrämenetelmä'' tarkasteli [[potenssisarja|potenssisarjoja]] lähellä [[yksikköympyrä|yksikköympyrää]], kun taas nykyään sarjat yleensa katkaistaan ja tarkastellaan äärellisiä summia. [[DiohantoksenDiofantoksen approksimointi]] on tullut apukeinona [[generoiva funktio|generoivien funktioiden]] lisäksi. Näiden funktioiden kertoimet on kostruoitu [[kyyhkyslakkaperiaate|kyyhkyslakkaperiaatetta]] hyväksikäyttämällä ja kertoimet ovat kompeksilukuja. Diofantoksen approksimoinnin ja transkendentiaalisuusteorian kehitystä on voitu käyttää [[Mordellin otaksuma]]n tutkimisessa.

Suurin yksittäinen analyyttisen lukuteorian menetelmä 1950-luvun jälkeen on ollut [[seulamenetelmä]]t, jotka sopivat erityisesti multiplikatiivisiin ongelmiin. Nämä menetelmät ovat luonteeltaan kombinatorisia. Myös [[probabilistinen lukuteoria|probabilististä lukuteoriaa]] käytetään paljon. Probabilistisen lukuteorian ideana on laskea todennäköisyys että satunnaisesti valitulla alkiolla on tietty ominaisuus. Jos tämä todennäköisyys on 1, niin tällöin ominaisuus pätee kaikilla alkioilla ja lause on saatu todistettua.