Ero sivun ”Lineaarinen riippumattomuus” versioiden välillä

'''Lineaarinen riippumattomuus''' on eräs [[matematiikka|matematiikan]], ja erityisesti [[lineaarialgebra]]n, keskeisimpiä teemoja. Tärkeytensä vuoksi se tulee käsitteenä vastaan myös puhtaan matemaatiikanmatematiikan ulkopuolella, esimerkiksi [[kvanttimekaniikka|kvanttimekaniikassa]], missäjossa kantafunktioilla on keskeinen merkitys.

pätee [[jos ja vain jos]] ''kaikki'' kertoimet <math>a_i</math> ovat nollia. Jos jokin kertoimettai jotkin kertoimista eivät ole nollia, sanotaan vektorijoukonvektoreiden olevan '''lineaarisesti riippuvia'''. Käytännössä lineaarinen riippumattomuus tarkoittaa sitä, ettei yksikään vektoreista ole joukon muiden vektoreiden monikertojen summa eli '''[[lineaarikombinaatio]]'''. Esimerkiksi vektorit

joka toteutuu silloin, kun <math>b_1 = -2, b_2 = -3</math> ja <math>b_3 = 1</math>, joten vektorit eivät ole lineaarisesti riippumattomia. Kaikkien annetussa [[vektoriavaruus|vektoriavaruudessa]] lineaarisesti riippumattomien vektoreiden joukko määrittelee vektoriavaruuden [[kanta|kannan]]. Vaikka kanta ei olekaan yksikäsitteinen (sillä jos esimerkiksi <math>\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}</math> on kanta niin, myös <math>\{2\mathbf{v}_1,3\mathbf{v}_2\}</math> on kanta), niin kantavektoreiden lukumäärä avaruudessa on vakio, ja se määrää tutkittavan vektoriavaruuden [[ulottuvuus|dimension]]. Edellisessä esimerkissä avaruuden dimensio on kaksi.

Samaan tapaan kuin vektoreille, lineaarinen riippumattomuus voidaan määritellä yleisemminkin [[funktio]]ille. Olkoon <math>\{f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x)\}\,</math> joukko funktioita ja <math>\{a_1, a_2, ..., a_n\}\,</math> kerroinkunnan alkioita. Vektoreiden tapaan, funktiot ovat lineaarisesti riippumattomia, jos

vain silloin, kun kaikki kertoimet ovat nollia. Funktioiden lineaarinen riippumattomuus on olennaista, jos halutaan tietää, muodostavatko ne [[funktioavaruus|funktioavaruuden]] kannan. Funktioavaruuden dimensio määräytyy niin ikään lineaarisesti riippumattomien funktioiden lukumäärästä. Erotuksena vektoriavaruuteen on kuitenkin se, että on helppoa määritellä ääretöndimensioisia funktioavaruuksia käyttämällä kantana esimerkiksi [[ortogonaaliset polynomit|ortogonaalisia polynomeja]].

HyvinLineaarialgebrassa usein tulee vastaan tilanne, jossa annettujen olioiden, vektorien tai muiden, sellaisten lineaarinen riippuvuus tai riippumattomuus on todettava. Tyypillisesti tämä palautuu kysymykseen [[yhtälöryhmä]]n ratkaisemisesta. Esimerkiksi, jos halutaan tietää, ovatko vektorit

Tämän tulokseksi saadaan <math>x=0</math> ja <math>y=0</math>, joten vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Mikä tahansa nollasta eroava arvo ''x'':lle tai ''y'':lle olisi puolestaan merkinnyt lineaarista riippuvuutta. [[Matriisi]]laskennasta on tunnettua, että yhtälöparin ratkaisun olemassaolon kertoo myös yhtälöryhmästä kirjoitettu [[determinantti]]. Niinpä voidaan kirjoittaa determinantti sellaiselle matriisille, jonka pystyriveinä ovat tutkittavat vektorit

Koska determinantti ''ei ole'' nolla, vektorit eivät ole toistensa lineaarikombinaatioita ja ne ovat siis lineaarisesti riippumattomia.

Funktiot ovat lineaarisesti riippumattomia kaikilla niillä ''x'':n arvoilla, joilla determinantti ei ole nolla. Wronskin determinantti näytteleeon tärkeää osaatärkeä [[differentiaaliyhtälö]]iden teoriassa. Jos <math>\{f_n^{[1]}, f_n^{[2]}, ..., f_n^{[N]}\}\,</math> on ''N'' funktiota sisältävä joukko [[diskreetti funktio|diskreettejä funktioita]], niiden lineaarista riippuvuutta testaa '''Casoratin determinantti'''

Koska Casoratin determinantin kahden vaakarivin erotus on derivaatan diskreetti analogia, kyseessä on Wronskin determinantin suora yleistys. Myös tässä tapauksessa funktiot <math>f_n^{[i]}</math> ovat lineaarisesti riippumattomia, jos determinantti eroaa nollasta.