Ero sivun ”Äärellinen kunta” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
pEi muokkausyhteenvetoa |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 41:
Kertalukua <math>q=p^k</math> olevan kunnan muodostamiseksi on ensin löydettävä astetta <math>k</math> oleva jaoton polynomi polynomirenkaasta <math>(\mathbb{Z}_p\lbrack x\rbrack,+,\cdot)</math>.
Muodostetaan esimerkiksi kertalukua <math>q=4=2^2</math> oleva äärellinen kunta. Kunnan karakteristika <math>p=2</math>, joten etsitään astetta <math>2</math> oleva jaoton polynomi polynomirenkaasta <math>\mathbb{Z}_p\lbrack x\rbrack</math>. Valitaan <math>h(x)=x^2+x+1</math>.
Merkitsemällä polynomeja lyhyemmin luettelemalla vain niiden kertoimet (esim. 110 vastaa polynomia <math>h(x)=1\cdot x^2+1\cdot x+0=x^2+x</math>) saamme näin muodostuvat
yhteen- ja kertolaskutaulukot muotoon:
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5"
|-
| + || 00 || 01 || 10 || 11
|-
| 00 || 00 || 01 || 10 || 11
|-
| 01 || 01 || 00 || 11 || 10
|-
| 10 || 10 || 11 || 00 || 01
|-
| 11 || 11 || 10 || 01 || 00
|}
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5"
|-
| * || 00 || 01 || 10 || 11
|-
| 00 || 00 || 00 || 00 || 00
|-
| 01 || 00 || 01 || 10 || 11
|-
| 10 || 00 || 10 || 11 || 01
|-
| 11 || 00 || 11 || 01 || 10
|}
Äärellisen kunnan kertolaskuryhmä on aina syklinen. <math>p^n</math> alkiota sisältävän äärellisen kunnan automorfismien muodostama ryhmä on niin ikään syklinen ja kertalukua n. Tämän ryhmän virittäjä on [[Frobeniuksen automorfismi]] <math>\varphi:\mathbb{F}_{p^n}\to\mathbb{F}_{p^n}</math>
| |||