Ero sivun ”Infinitesimaali” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Sml (keskustelu | muokkaukset) p poistin nimenvaihtopyynnön |
KLS (keskustelu | muokkaukset) Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 1:
'''Infinitesimaali''' tarkoittaa niin pientä [[suure]]tta, ettei sitä käytännössä tai edes periaatteessa voida mitata. Termi on muodostettu lisäämällä [[latina]]n [[äärettömyys|äärettömyyttä]] tarkoittaavaan sanaan latinalainen [[murtoluku]]a tarkoittava johdin, siis ikään kuin "äärettömäsosa." Arkikielessä infinitesimaalisella voidaan tarkoittaa merkityksettömän pientä asiaa.
Matematiikassa infinitesimaalin käsite liittyy [[analyysi (matematiikka)|analyysin]] eli lähinnä [[differentiaalilaskenta|differentiaali-]] ja [[integraalilaskenta|integraalilaskennan]] varhaisimpiin, mutta myös eräsiin moderneihin muotoiluihin. Ennen 1800-lukua näiden matematiikan haarojen käsitteiden määritelmät olivat epätyydyttäviä, mutta niiden avulla voitiin silti saada oleellisesti oikeita tuloksia. Käsitettä käyttivät [[Gottfried Leibniz]], [[Isaac Newton]], [[Leonhard Euler]] ja monet muut matemaatikot.
== Historia ==
Rivi 9:
Kun Leibniz ja Newton toisistaan riippumatta 1600-luvun lopulla kehittivät differentiaali- ja integraalilaskennan, heidän käyttämänsä päättelyt perustuivat oleellisesti infinitesimaaleihin. Tyypillinen todistus saattoi kuulua seuraavasti:
::On määriteltävä [[
:::{|
|-
|<math>f'(x)\,</math>
|<math>=\frac{f(x + \mathrm dx) - f(x)}{\mathrm dx}\,</math>.
|-
|}
::Näin ollen funktion ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> derivaatta oli
:::{|
|<math>f'(x)\,</math>
|<math>=\frac{x^2 + 2x \cdot \mathrm dx + (\mathrm dx)^2 -x^2}{\mathrm dx}\,</math>
|-
Rivi 28 ⟶ 32:
::koska d''x'' is infinitesimaalisen pieni.
Vaikka tämä todistelu
Infinitesimaali määriteltiin naiivisti nollasta poikkeavaksi luvuksi, jonka [[iteisarvo (matematiikka)|itseisarvo]] on pienempi kuin mikä tahansa muu positiivinen luku. Tarkkaan ottaen tästä seurasi kuitenkin, ettei sellaisia lukuja ole. Jos ''h'' on infinitesimaali, voidaanko se edelleen jakaa kahdella? Ellei voida, onko se yhä luku? Lisäksi voitaisiin olettaa, että infinitesimaalin [[käänteisluku|käänteisluvun]] tulisi olla ääretön.
Useimmat aikakauden matemaatikot ja varsinkin fyysikot jättivät nämä vastaväitteet kuitenkin vähälle huomiolle. Näistä loogisista heikkouksista huolimatta infinitesimaalin käsitteeseen perustunutta analyysiä voitiin kuitenkin erittäin menestyksellisesti soveltaa monilla aloilla, erityisesti [[fysiikka|fysiikassa]] ja [[taivaanmekaniikka|taivaanmekaniikassa]].
▲Infinitesimaali määriteltiin naiivisti nollasta poikkeavaksi luvuksi, jonka [[iteisarvo (matematiikka)|itseisarvo]] on pienempi kuin mikä tahansa muu positiivinen luku. Tarkkaan ottaen tästä seurasi kuitenkin, ettei sellaisia lukuja ole. Jos ''h'' on infinitesimaali, voidaanko se edelleen jakaa kahdella? Ellei voida, onko se yhä luku? Lisäksi voitaisiin olettaa, että infinitesimaalin [[käänteisluku|käänteisluvun]] tulisi olla ääretön. Näistä loogisista vaikeuksista huolimatta infinitesimaalien käyttö näytti pitkään toimivan.
Vasta 1800-luvulla [[Karl Weierstrass]] määritteli
<center><math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, aina kun <math>0<|x-c|<\delta</math></center>
Rivi 40 ⟶ 46:
<center><math> \lim_{x \to c}f(x) = L </math> (luetaan ''<math>f(x)</math>:n raja-arvo, kun <math>x</math> lähestyy <math>c</math>:tä, on <math>L</math>'')</center>
Tämän avulla funktion ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> [[derivaatta]] ''f′''(''x'')
<center><math>f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math></center>.
|