Ero sivun ”Infinitesimaali” versioiden välillä

480 merkkiä lisätty ,  11 vuotta sitten
ei muokkausyhteenvetoa
p (poistin nimenvaihtopyynnön)
'''Infinitesimaali''' tarkoittaa niin pientä [[suure]]tta, ettei sitä käytännössä tai edes periaatteessa voida mitata. Termi on muodostettu lisäämällä [[latina]]n [[äärettömyys|äärettömyyttä]] tarkoittaavaan sanaan latinalainen [[murtoluku]]a tarkoittava johdin, siis ikään kuin "äärettömäsosa." Arkikielessä infinitesimaalisella voidaan tarkoittaa merkityksettömän pientä asiaa.
 
Matematiikassa infinitesimaalin käsite liittyy [[analyysi (matematiikka)|analyysin]] eli lähinnä [[differentiaalilaskenta|differentiaali-]] ja [[integraalilaskenta|integraalilaskennan]] varhaisimpiin, mutta myös eräsiin moderneihin muotoiluihin. Ennen 1800-lukua näiden matematiikan haarojen käsitteiden määritelmät olivat epätyydyttäviä, mutta niiden avulla voitiin silti saada oleellisesti oikeita tuloksia. Käsitettä käyttivät [[Gottfried Leibniz]], [[Isaac Newton]], [[Leonhard Euler]] ja monet muut matemaatikot.
 
== Historia ==
Kun Leibniz ja Newton toisistaan riippumatta 1600-luvun lopulla kehittivät differentiaali- ja integraalilaskennan, heidän käyttämänsä päättelyt perustuivat oleellisesti infinitesimaaleihin. Tyypillinen todistus saattoi kuulua seuraavasti:
 
::On määriteltävä [[funktionfunktio]]n ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> [[derivaatta]] ''f&prime;''(''x''). Olkoon of the d''x'' infinitesimaali. SaadaanSen aikaisen määritelmän mukaan derivaatta oli:
 
:::{|
|-
|<math>f'(x)\,</math>
|<math>=\frac{f(x + \mathrm dx) - f(x)}{\mathrm dx}\,</math>.
|-
|}
::Näin ollen funktion ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> derivaatta oli
 
:::{|
|<math>f'(x)\,</math>
|<math>=\frac{x^2 + 2x \cdot \mathrm dx + (\mathrm dx)^2 -x^2}{\mathrm dx}\,</math>
|-
::koska d''x'' is infinitesimaalisen pieni.
 
Vaikka tämä todistelu onoli intuitiivisesti uskottava ja johtaajohti oikeaan tulokseen, se onei ollut loogisesti epätyydyttäväaukoton. Varsinkin filosofit kuten [[George Berkeley]] esittivät siihen painavia vastaväitteitä <ref>George Berkeley, ''The Analyst; or a discourse addressed to an infidel mathematician''</ref> Varsinainen ongelma on siinä, että infinitesimaalia d''x'' käsitellään ensin nollasta poikkevana, niin että se voi olla [[jakolasku|jakajanakin]], mutta sen jälkeen se kuitenkin poistetaan laskuista ikään kuin se olisi nolla.
 
Infinitesimaali määriteltiin naiivisti nollasta poikkeavaksi luvuksi, jonka [[iteisarvo (matematiikka)|itseisarvo]] on pienempi kuin mikä tahansa muu positiivinen luku. Tarkkaan ottaen tästä seurasi kuitenkin, ettei sellaisia lukuja ole. Jos ''h'' on infinitesimaali, voidaanko se edelleen jakaa kahdella? Ellei voida, onko se yhä luku? Lisäksi voitaisiin olettaa, että infinitesimaalin [[käänteisluku|käänteisluvun]] tulisi olla ääretön. Näistä loogisista vaikeuksista huolimatta infinitesimaalien käyttö näytti pitkään toimivan.
 
Useimmat aikakauden matemaatikot ja varsinkin fyysikot jättivät nämä vastaväitteet kuitenkin vähälle huomiolle. Näistä loogisista heikkouksista huolimatta infinitesimaalin käsitteeseen perustunutta analyysiä voitiin kuitenkin erittäin menestyksellisesti soveltaa monilla aloilla, erityisesti [[fysiikka|fysiikassa]] ja [[taivaanmekaniikka|taivaanmekaniikassa]].
Infinitesimaali määriteltiin naiivisti nollasta poikkeavaksi luvuksi, jonka [[iteisarvo (matematiikka)|itseisarvo]] on pienempi kuin mikä tahansa muu positiivinen luku. Tarkkaan ottaen tästä seurasi kuitenkin, ettei sellaisia lukuja ole. Jos ''h'' on infinitesimaali, voidaanko se edelleen jakaa kahdella? Ellei voida, onko se yhä luku? Lisäksi voitaisiin olettaa, että infinitesimaalin [[käänteisluku|käänteisluvun]] tulisi olla ääretön. Näistä loogisista vaikeuksista huolimatta infinitesimaalien käyttö näytti pitkään toimivan.
 
Vasta 1800-luvulla [[Karl Weierstrass]] määritteli diffenentiaalidifferentiaali- ja integraalilaskennan käsitteet uudelleen niin, ettei infinitesimaaleja tarvittu. Täten ne saatiin vihdoin loogisesti pätevälle pohjalle. Keskeisin käsite, jota tällöin tarvittiin, oli [[raja-arvo]]. Määritelmän mukaan reaaliarvoisella reaalimuuttujan funktiolla <math>f</math> on raja-arvo <math>L</math> pisteessä <math>c</math>, jos jokaista positiivista lukua <math>\epsilon>0</math> kohti, olipa se kuinka pieni tahansa, on olemassa positiivinen luku <math>\delta>0</math> siten, että
 
<center><math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, aina kun <math>0<|x-c|<\delta</math></center>
<center><math> \lim_{x \to c}f(x) = L </math> (luetaan ''<math>f(x)</math>:n raja-arvo, kun <math>x</math> lähestyy <math>c</math>:tä, on <math>L</math>'')</center>
 
Tämän avulla funktion ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> [[derivaatta]] ''f&prime;''(''x'') voitiinmääriteltiin määritelläaikaisemmasta poiketen seuraavasti:
 
<center><math>f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math></center>.
91 883

muokkausta