Ero sivun ”David Hilbert” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 3:
Hän työskenteli laajasti matematiikan eri aloilla korjaten mm. [[Eukleides|Eukleideen]] [[geometria|geometrisen]] [[aksiooma|aksiomatisoinnin]] virheitä. Myöhemmin hänen työnsä pohjalta syntyi [[Hilbert-avaruus|Hilbertin avaruuden]] käsite.
David Hilbert syntyi [[Königsberg]]issä ja opiskeli Königsbergin yliopistossa, jossa hän toimi
Hilbertin varhaisimmat työt vuosina [[1885]] – [[1893]] koskevat algebrallisten invarianttien teoriaa. Nämä ovat joidenkin muuttujien x<sub>1</sub>,...,x<sub>''n''</sub> algebrallisia funktioita, jotka säilyvät muuttumattomina tietyntyyppisissä, yleensä lineaarisissa, [[koordinaattitransformaatioissa]]. Tässä yhteydessä hän mm. todisti '''Hilbertin baasilauseen''' nimellä tunnetun lauseen, jonka mukaan "jokaisella kompleksikertoimisten polynomien renkaan ideaalilla on äärellinen kanta". Tällöin Hilbert sovelsi epäkonstruktiivisia todistusmetodeja, jotka antavat todistuksen jonkin annetut ehdot toteuttavan objektin olemassaololle, mutta eivät anna laskennallista menetelmää sen konstruoimiseksi. Tällaiset epäkonstruktiiviset menetelmät, joita Hilbertin aikalaiset vielä vierastivat, ovat sittemmin saaneet matematiikassa tärkeän sijan.
Vuosina [[1894]] – [[1897]] tutki algebrallisten lukujen teoriaa. Tänä kautena hän kirjoitti algebrallisten lukujen silloista tilaa selostavan laajan "'''Zahlbericht'''"-nimellä tunnetun raportin.
Vuosina [[1898]] – [[1902]] Hilbert keskittyi pääasiassa geometrian aksiomaattisten perusteiden tutkimiseen. Vuonna [[1899]] ilmestynyt teos "'''Grundlagen der Geometrie'''" antoi matematiikan aksiomaattiselle esittämiselle mallin, joka suuresti vaikutti kaikkien matematiikan alojen aksiomatisointiin. Tutkiessaan geometrian aksioomien riippumattomuutta Hilbert kehitti useita omalaatuisten geometristen systeemien malleja. Hänen tässä yhteydessä suorittamansa konstruktiot ovat mielenkiintoisia muissakin kuin geometrisissa yhteyksissä; hän mm. antoi esimerkin järjestetystä vinokunnasta ja esitti yleisen määritelmän kaksidimensioiselle monistolle.
Hilbert palautti kysymyksen geometristen aksioomien ristiriidattomuudesta aritmetiikan ristiriidattomuuteen konstruoimalla aritmeettisia malleja, joissa asetetut geometriset aksioomat toteutuvat. Tämä nosti esiin kysymyksen aritmetiikan ristiriidattomuudesta, jota Hilbert ei enää katsonut voitavan palauttaa jonkin mallin konstruoimiseen. Sen sijaan hän asetti ohjelmakseen sellaisen täysin formaalin järjestelmän luomisen, jossa päättelysäännöt ovat vain tietynmuotoisten kaavojen peräkkäin kirjoittamista koskevia sääntöjä ja jossa ristiriidattomuus merkitsee vain sitä, että annettuja kaavankirjoitussääntöjä noudattaen ei voida joutua sekä lauseeseen "p" että lauseeseen "ei-p". Hilbert yritti konstruoida sellaisen formalisoidun järjestelmän, jonka edellä selostettu formaali ristiriidattomuus olisi todistettavissa ja joka sisältäisi osanaan aritmetiikan. Tähän päämäärään pyrkiessään Hilbert suoritti merkittävää matemaattisen logiikan ja matematiikan perusteiden tutkimusta, jonka tulokset on koottu teoksiin "'''Grundzüge der teoretischen Logik'''" ([[Wilhelm Ackermann]]in kanssa [[1928]]) ja "'''Grundlagen der Mathematik'''" (kaksi osaa, [[1934]] – [[1939]], Paul Bernaysin kanssa). Hilbertin käsitys matematiikasta sisällyksettömien kaavojen manipulointia käsittelevänä tieteenä johti vilkkaaseen matematiikan olemusta koskevaan polemiikkiin, jossa muina osapuolina olivat [[Bertrand Russell]]in ja [[Alfred North Whitehead]]in ajatuksia kannattavat logistikot ja [[Luizen Egbertus Brouwer]]in ([[1881]] – [[1966]]) ajatuksia kannattavat intuitionistit. [[Kurt Gödel]]in vuonna [[1931]] todistama merkittävä lause osoitti, että aritmetiikan formalisoiminen Hilbertin alkuperäisen ohjelman mielessä ei ole mahdollista.
Vuosina [[1902]] – [[1922]] Hilbert tutki integraaliyhtälöiden teoriaa ja tämän sovellutuksia teoreettisen fysiikkaan. Integraaliyhtälöitä käsittelevissä artikkeleissaan Hilbert kehitti suuren määrän sellaista funktionaalianalyysin peruskäsitteistöä, jonka sitten mm. [[Erhard Schmidt]] ([[1876]] – [[1959]]) esitti yhtenäisenä abstraktina [[Hilbert-avaruus|Hilbertin avaruuksien]] teoriana. Hilbert mm. otti käyttöön ortogonaalisen funktiosysteemin käsitteen ja osoitti, miten sellaista käyttäen integraalioperaattoreiden ominaisuudet ja integraaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät palautuvat ääretöndimensioisiksi versioiksi sellaisista probleemoista (esim. toisen asten pintojen pääakseliprobleemasta), joita jo kauan oli käsitelty äärellisdimensioisessa analyyttisessa geometriassa. Richard Courantin ja Hilbertin yhdessä kirjoittama teos "'''Methoden der mathematischen Physik'''" ([[1924]]) sovelsi näitä menetelmiä fysikaalisiin probleemoihin; menetelmät osoittautuivat sittemmin erityisesti [[kvanttimekaniikka]]an soveltuviksi.
Muista Hilbertin tuloksista merkittävimpiä olivat hänen esittämänsä [[lukuteoria|lukuteoreettisen]] [[Waringin probleema]]n ratkaisu sekä [[potentiaaliteoria]]ssa esitetyn [[Dirichletin periaate|Dirichletin periaatteen]] ([[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]]) todistaminen oikeaksi sopivien ehtojen vallitessa. Viimeksi mainitun todistuksen yhteydessä Hilbert kehitteli [[variaatiolaskenta|variaatiolaskennan]] "suoria" menetelmiä, joissa jonkin suureen minimi etsitään välittömällä konstruktiolla käyttämällä [[differentiaaliyhtälö]]itä.
== Lähteet ==
Spectrum tietokeskus 16-osainen tietosanakirja, 3. osa, WSOY, 1984, ISBN 951-0-08296-1
== Katso myös ==
| |||