Avaa päävalikko

Muutokset

574 merkkiä lisätty ,  14 vuotta sitten
ei muokkausyhteenvetoa
'''Ylinumeroituva joukko''' on [[matematiikka|matematiikassa]] [[joukko]], joka ei ole [[numeroituva joukko|numeroituva]].
 
Numeroituvuus tarkoittaa, että joukon [[mahtavuus]] on äärellinen tai numeroituvasti ääretön. Tästä seuraa, että kaikki ylinumeroituvat joukot ovat äärettömiä. Ylinumeroituvan joukon mahtavuus on aidosti suurempi kuin <math>\aleph_0</math>, [[luonnollinen luku|luonnollisten lukujen]] joukon mahtavuus. Kaikki ylinumeroituvat joukot eivät kuitenkaan ole samankokoisia.
 
==Määritelmä==
:<math>f\colon \mathbb{N} \to S </math>
 
Esimerkki ylinumeroituvasta joukosta on [[reaaliluku]]jen joukko '''R'''. Se voidaan todistaa ylinumeroituvaksi [[Cantorin diagonaaliargumentti|Cantorin diagonaaliargumentilla]]; samanlaista tekniikkaa voidaan käyttää myös monien muiden joukkojen ylinumeroituvuuden osoittamiseen. Joukon '''R''' mahtavuutta merkitään usein <math>\beth_1</math>. Toinen ylinumeroituva joukko on kaikkien luonnollisten lukujen joukon osajoukkojen joukko eli luonnollisten lukujen joukon [[potenssijoukko]] <math>\mathcal{P}(\mathbb{N})</math>.
 
Kaikki ylinumeroituvat joukot eivät kuitenkaan ole samankokoisia. Kolmas esimerkki ylinumeroituvasta joukosta on kaikkien [[funktio]]iden ''f'' : '''R'''&rarr;'''R''' joukko. Tämä joukko on vielä reaalilukujenkin joukkoa "ylinumeroituvampi". Sen mahtavuutta merkitään <math>\beth_2</math>, joka on suurempi kuin <math>\beth_1</math>.
 
Ei kuitenkaan voi sanoa, että reaalilukuja olisi ''enemmän'' kuin vaikkapa kokonaislukuja, koska jokaista reaalilukua kohti voidaan luetella ääretön määrä uusia kokonaislukuja. Sen sijaan reaalilukujen joukko on kokonaislukujen joukkoa ''tiheämpi''.
19 585

muokkausta