Ero sivun ”Zornin lemma” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
pEi muokkausyhteenvetoa |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 9:
Zornin lemmassa esiintyvät käsitteet määritellään seuraavasti: Olkoon (''P'',≤) osittain järjestetty joukko. Osajoukko ''T'' on ''täysin järjestetty'' jos jokaisella ''s'', ''t'' ∈ ''T'' on voimassa joko ''s'' ≤ ''t'' tai ''t'' ≤ ''s''. Tällaisella joukolla ''T'' on ''yläraja'' ''u'' ∈ ''P'' jos ''t'' ≤ ''u'' kaikilla ''t'' ∈ ''T''. Huomaa, että ''u'' on ''P'':n alkio, mutta ei välttämättä kuulu ''T'':hen. ''P'':n ''maksimaalinen alkio'' on sellainen alkio ''m''∈''P'', että ainoa alkio ''x'' ∈ ''P'', jolle ''x'' ≥ ''m'' on ''x'' = ''m''.
Kuten [[hyvinjärjestyslause]], Zornin lemma on yhtäpitävä valinta-aksiooman kanssa siinä mielessä, että toinen lause seuraa toisesta kunhan joukko-opin [[Zermelon-Fraenkelin aksioomat]] oletetaan tunnetuiksi. Zornin lemman avulla voidaan todistaa monia kuuluisia lauseita, kuten esimerkiksi [[funktionaalianalyysi]]n [[Hahnin-Banachin lause]], jokaisella [[vektoriavaruus|vektoriavaruuden]] olevan [[vektoriavaruuden kanta|kanta]], [[Tihonovin lause]], jonka mukaan [[kompakti]]en avaruuksien tulo on kompakti, jokaisella ykkösellisellä [[rengas|renkaalla]] olevan maksimaalinen
Jos matematiikassa joudutaan tekemään valintoja äärellisestä joukosta, voidaan yleensä tapaus tapaukselta tarkastaa toteuttaako tietty alkio annetut ehdot. Monesti matematiikassa joudutaan kuitenkin valitsemaan alkioita äärettömästä joukosta, vieläpä voidaan joutua valitsemaan useita alkioita samanaikaisesti. Tällöin Zornin lemma on käyttökelpoinen.
Zornin lemmaa käytetään useimmiten siten, että ensin etsitään jotkin struktuurit, jotka toteuttavat todistettavana asiana olevat ehdot. Näille asetetaan paremmuusjärjestys ja Zornin lemmaa käytetään sen osoittamiseen, että tässä paremmuusjärjestyksessä on olemassa paras vaihtoehto.
{{tynkä/Matematiikka}}
| |||