Ero sivun ”Hessen matriisi” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa |
Linkitystä |
||
Rivi 1:
'''Hessin matriisi''', joskus myös Hessen matriisi, on olennaisesti reaaliarvoisen
:<math> \nabla ^2 f = H = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1 \partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n \partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n \partial x_n} \end{bmatrix}</math>
Hessin matriisin [[determinantti]] on monella tapaa kiinnostava. Sen merkin avulla voidaan tarkastella f:n lokaalien ääriarvojen luonnetta. Jos determinantti on positiivinen, niin H on [[positiivisesti definiitti matriisi|positiivisesti definiitti]] ja silloin f:n ääriarvo onkin lokaali minimi. Vastaavasti, jos determinantti on negatiivinen, niin H on negatiivisesti definiitti ja silloin f:n ääriarvo onkin lokaali maksimi.
Huomionarvoista on, että siinä tilanteessa, että funktio f:llä on jatkuvat toisen kertaluvun [[osittaisderivaatta|osittaisderivaatat]], niin Hessin matriisi on [[symmetrinen matriisi|symmetrinen]]. Toisaalta Hessin matriisi on aina [[neliömatriisi]]. Kolmanneksi jos f:llä on jatkuvat toisen kertaluvun osittaisderivaatan, niin on olemassa toisen asteen numeerinen approksimaatio:
:<math> f(x_0 + h) = f(x_0) + \nabla f \cdot h + h^THh + \epsilon(h) \cdot ||h||^2</math>
Tässä pätee vielä, että <math>\epsilon(h)</math> lähenee nollaa h:n lähetessä nollaa. Siis määritelmän mukaan arvio on f:n toisen asteen [[approksimaatio]]. Tämän approksimaation avulla voimme todistaa lokaaleja ääriarvoja koskevia lauseita
{{tynkä/Matematiikka}}
| |||