Ero sivun ”Stokastinen prosessi” versioiden välillä

'''Stokastisilla prosesseilla''' tarkoitetaan [[aika|ajassa]] [[satunnaisuus|sattumanvaraisesti]] eteneviä [[todellisuus|todellisuuden]] [[prosessi|prosesseja]] kuvaavia [[matematiikka|matemaattisia]] prosesseja. Usein kyseessä on pisteen satunnaisen liikkeen tutkiminen jossakin sopivassa koordinaatistossa.

Esimerkkejä stokastisista prosesseista ovat: matemaattinen ''[[Brownin liike]]'' (eli ''Wienerin prosessi''), ''[[Poissonin prosessi]]'', ''Cauchyn prosessi'', ''[[Ornsteinin–Uhlenbeckin prosessi'']], ''[[Besselin prosessi'']], ''[[Bernoullin prosessi'']] ja ''[[Huntin prosessi'']].

Edellä luetellut prosessit ovat ''[[Markovin prosessi|Markovin prosesseja]]'': ne alkavat joka hetki uudestaan eli eivät lainkaan muista menneisyyttään. Niiden tulevaisuuteen vaikuttaa vain tämän hetkennykyhetken tilanne, eieikä se, miten tähänsiihen on tultu. Markovin prosessit ovat laaja ja tärkeä stokastisten prosessien osa.

Esimerkki prosessista, joka ei ole Markovin prosessi, on [[satunnaiskulku|satunnaiskulusta]] muokattu jatkuva prosessi, jossa piste liikkuu reaaliakselilla [[kokonaisluku|kokonaisluvun]] kohdalta aikayksikössä tasaisella nopeudella pituusyksikön verran oikealle tai vasemmalle. Sovimme, että kokonaisten aikayksikköjen hetkellä prosessi on aina kokonaisluvun kohdalla arpomassa "lanttia heittämällä" silmänräpäyksellisesti, kumpaan suuntaan mennä. Kun ajan hetki on esimerkiksi t = 2,5, prosessin tiedetään olevan joidenkin peräkkäisten kokonaislukujen välin keskellä. Kuitenkaan ei voida päätellä, onko se menossa oikealle vai vasemmalle, ellei "muisteta", missä se oli hiukan aiemmin. Prosessin jatkoon vaikuttavat siis myös hetkeä t = 2,5 aiemmat tapahtumat, joten kyseessä ei ole Markovin prosessi.

Toinen tapa esittää prosesseja on tulkita ne ajan t funktiona x(t). Tällöin x(t) on pisteen sijainti hetkellä t. Joskus tämä yhdistetään myös edellä käsiteltyyn prosessin kaikkien mahdollisten polkujen joukkoon merkitsemällä x(t) = x(t,<math>\omega</math>), missäjossa <math>\omega</math> on prosessin tällä kerralla "valitsema" polku.

Markovin prosessin tapauksessa voidaan prosessin kulkua hallita joskus siirtymätodennäköisyyksien avulla. Kun prosessi on jollakin hetkellä pisteessä x ja sen sijainnin [[tiheysfunktio]] ajan t kuluttua p(t;x,y), niin siirtymätodennäköisyys ajan t kuluessa pisteestä x alueeseen A saadaan [[integrointi|integroimalla]] p(t;x,y) y:n suhteen alueen A yli. Saatu integraali, siirtymätodennäköisyys P(t;x,A), kertoo, millä todennäköisyydellä prosessi löytyy ajan t kuluttua alueesta A, kun sen nykysijainti x tunnetaan.