Wikipedia

Ero sivun ”Lineaarinen regressioanalyysi” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
Japsu (keskustelu | muokkaukset)
seulojat
3 422 muokkausta
p taivuttaa ne sana
p lisäsin kuvan ja kohentelin ilmaisua paikoitellen
Rivi 1:
[[Image:Normdist_regression.png|300px|thumb|right|Esimerkki lineäärisestä regressioanalyysista 50 datapisteelle.]]
 
'''Lineaarinen regressioanalyysi''' on [[tilastotiede|tilastollinen]] analyysimenetelmä, jossa aineiston perusteella estimoidaan tarkasteltavan vastemuuttujan lineaarista riippuvuutta selittävistä muuttujista. Menetelmää sovelletaan lähes kaikilla tieteenaloilla, joilla tehdään empiiristä tutkimusta.
 
Rivi 20 ⟶ 22:
==Parametrien estimointi==
 
Kirjoittamalla malli <math>y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i </math> lineaarisena yhtälösysteeminä, voidaan malli esittää matriisimuodossa, jolloin ''X'' aineistomatriisi, ''Y'' vastevektori ja <math>\delta</math> parametrivektori. Matriisien ''i'':nnes. rivi sisältää aineiston rivit <math>x_i </math> ja <math>y_i</math> Tällöin malli voidaan kirjoittaa:
 
: <math> \begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & x_1\\ 1 & x_2\\ \vdots & \vdots\\ 1 & x_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \varepsilon_1\\ \varepsilon_2\\ \vdots\\ \varepsilon_n \end{bmatrix} </math>,
joka on matriisienamatriiseina:
 
: <math>Y = X \delta + \varepsilon \,</math>
 
Nyt yhtälö voidaan kertoa vasemmalta matriisillatransponenttimatriisilla <math>X'^\operatorname{T} \,</math>:
 
: <math>X'^\operatorname{T}Y = X'^\operatorname{T}X \delta + X'^\operatorname{T}\varepsilon \,</math>▼
 
Olettaen, että matriisi <math>(X'^\operatorname{T}X)^{-1}</math> on olemassa, voidaan yhtälö kertoa sillä vasemmalta puolelta:▼
 
: <math>(X^\operatorname{T}X)^{-1}X^\operatorname{T}Y = (X^\operatorname{T}X)^{-1}X^\operatorname{T}X \delta + (X^\operatorname{T}X)^{-1}X^\operatorname{T}\varepsilon = \delta + (X^\operatorname{T}X)^{-1}X^\operatorname{T}\varepsilon\,</math>
▲: <math>X'Y = X'X \delta + X'\varepsilon \,</math>
 
Ratkaisemalla yhtälö deltan suhteen saadaan:
▲Olettaen, että matriisi <math>(X'X)^{-1}</math> on olemassa, voidaan yhtälö kertoa sillä vasemmalta puolelta:
 
: <math>\delta = (X'X)^\operatorname{-1T}X'Y = (X'X)^{-1}X'X ^\deltaoperatorname{T}Y + (X'^\operatorname{T}X)^{-1}X'^\operatorname{T}\varepsilon \,</math>
 
Estimaatti deltalle saadaan merkitsemällä residuaalitermi nollaksi:
Ottamalla odotusarvo ja ratkaisemalla yhtälö saadaan estimaatti:
 
: <math>\widehat{\delta}=(X'^\operatorname{T}X)^{-1}X'^\operatorname{T}Y \,</math>
 
==Aiheesta muualla==
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Lineaarinen_regressioanalyysi”