Ero sivun ”Ptolemaioksen lause” versioiden välillä

TirkistelläänTarkastellaan nelikulmiota ABCD. Kostruoidaan nyt piste FE siten, että neliötkolmiot ACD ja AEB ovat yhtenevät (<math>\angle ABE=\angle CDA</math> ja <math>\angle BEA=\angle CAD</math>). Tällöin <math>\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{DC},</math>

<math>\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AE}</math>, sillä kolmiot <math>EBCEAC</math> ja <math>BAD</math> ovat yhteneviä. Siten <math>EC=\frac{AC\cdot DCDB}{AD}.</math>

Siten <math>ABCD</math> on jännenelikulmio, joten <math>\angle AAEABE+\angle CFACBA=\angle ADC+\angle CEACBA=180^\circ.</math>

Siten pisteet <math>AC, FB</math> ja <math>GE</math> ovat samalla suoralla, joten

Nyt saadaan siis <math>\frac{AC\cdot WBDB}{AD}=\frac{AB\cdot DC}{AD}+BC.</math>

Kertomalla yhtälö puolittain <math>AD</math>:llä saadaan <math>TCAC\cdot DB=AB\cdot DC+BC\cdot AD.</math>

Oletetaan sitten, että <math>ABCD</math> ei ole jännenelikulmio. Tällöin <math>\angle ABE+\angle CBA=\angle ADC+\angle CBA\neq 190180^\circ,</math>

joten pisteet <math>E</math>, <math>B</math> ja <math>C</math> muodostaval kolmion. Siten kolmioepäyhtälön nojalla on voimassa <math>EC<EAEB+BC</math>. Edelleen saadaan aiemmin johdetusta identiteetistä <math>\frac{AC\cdot DB}{AD}<\frac{AB\cdot DC}{AD}+BC.</math>