Ero sivun ”Newtonin menetelmä” versioiden välillä

107 merkkiä lisätty ,  14 vuotta sitten
Suomenkielinen kuvateksti
pEi muokkausyhteenvetoa
(Suomenkielinen kuvateksti)
Aloitetaan nollakohdan etsiminen tekemällä tuntemattomalle alkuarvaus mieluiten mahdollisimman läheltä haluttua nollakohtaa. Korvataan funktio [[tangentti|tangentillaan]], mikä voidaan tehdä lukiomatematiikan keinoin. Tämän jälkeen lasketaan kyseisen tangentin nollakohta. Yleensä tämä nollakohta on parempi likiarvo funktion nollakohdalle. Otetaan tämä uudeksi arvoksi ja toistetaan [[iterointi]] riittävän usein haluttuun tarkkuuteen pääsemiseksi.
 
Oletetaan, että ''f'' : [''a'', ''b''] → '''R''' on [[derivoituva funktio|derivoituva]] funktio, joka on määritelty välillä [''a'', ''b''] ja sen arvojoukko koostuu [[reaaliluvut|reaaliluvuista]] '''R'''.
Nollakohta löydetään seuraavasti. Oletetaan, että tiedossa oleva likiarvo on ''x''<sub>n</sub>. Siitä saadaan parempi likiarvo ''x''<sub>n+1</sub> alla olevan diagrammin mukaisesti.
Derivaatan määritelmästä tunnetaan, että derivaatan arvo missä tahansa pisteessä on kyseiseen pisteeseen piirretyn tangentin [[kulmakerroin]].
 
 
Tällöin
:<math>x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\,\!</math>.
Iterointi aloitetaan valitsemalla jokin näennäisen satunnainen alkuarvo ''x''<sub>0</sub> (mitä lähempää todellista nollakohtaa tämä valitaan, yleensä sitä parempi). Menetelmä yleensä suppenee, mikäli valittu alkuarvo on riittävän lähellä nollakohtaa. Karkeasti voidaan todeta, että nollakohdan ympäristössä saadun likiarvon oikeiden desimaalien lukumäärä vähintään kaksinkertaistuu jokaisessa iteraatiossa.
''x''<sub>2</sub>
 
::[[Image:newton_iteration.png|thumb|300px|altIteroimalla Illustrationarvolla ofx<sub>n</sub> Newton'sollaan methodpäästy arvoa x lähempänä olevaan arvoon x<sub>n+1</sub>.]]
Kuva Newtonin menetelmän yhdestä iteraatiosta. Tästä nähdään, että <math>x_{n+1}</math> on funktion <math>f</math> nollakohdalle parempi likiarvo kuin <math>x_n</math>
 
[[Heron Aleksandrialainen]] käytti samankaltaista menetelmää kirjassa 1, luvussa 8 teoksessaan ''Metrica'' määrittääkseen luvun 720 neliöjuurta.
 
Newtonin menetelmän julkaisi ensimmäisenä [[John Wallis]] vuonna [[1685]] teoksessa ''A Treatise of Algebra both Historical and Practical''. [[Joseph Raphson]] julkaisi yksinkertaistetun kuvauksen menetelmästä vuonna [[1690]] teoksessa ''[[Analysis aequationum universalis]]''. Myös hän piti menetelmän puhtaasti algebrallisena rajoittaen sen käytön polynomeihin, mutta otti käyttäänkäyttöön peräkkäiset approksimaatiot likiarvoille ''x''<sub>''n''</sub>. Ensimmäisenä Newtonin menetelmän kuvasi iteratiivisessa muodossa [[Thomas Simpson]] vuonna [[1740]].
 
==Käytännön huomioita==
Näissä esimerkeissä etsitty juuri on nolla yksinkertaisuuden takia. Se voisi olla mikä tahansa muukin.
 
* Jos derivaatta ei ole jatkuva nollakohdassa, suppenemista ei välttämättä tapahdu.
 
*Jos derivaatta ei ole jatkuva nollakohdassa, suppenemista ei välttämättä tapahdu.
Olkoon
:<math>f(0) = 0 \!</math>
 
Juuren missä tahansa ympäristössä derivaatta muuttaa merkkiään, kun ''x'' lähestyy nollaa oikealta (tai vasemmalta) samalla kun
<math>f(x) \ge x - x^2 > 0 \!</math> kaikille <math>0 < x < 1 \!.</math>.
 
Näin ollen Newtonin menetelmä ei suppene, vaikka funktio on kaikkialla derivoituva.
 
* Jos nollakohdassa ei ole toista derivaattaa, suppenemisnopeus ei ole verrannollinen toiseen potenssiin.
 
*Jos nollakohdassa ei ole toista derivaattaa, suppenemisnopeus ei ole verrannollinen toiseen potenssiin.
 
Olkoon
ja
:<math>f''(x) = (4/9)x^{-2/3} \!</math>
paitsi kun <math>x = 0 \!</math>, jossa se ei ole määritelty. Kun valitaan <math>x_n \!</math>, <math>x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f '(x_n) = (1/3)x_n^{4/3}/(1 + (4/3)x_n^{1/3}) \!</math>, joka on noin 4/3 kertaa niin tarkka kuin <math>x_n \!</math>. Tämä on vähemmän kuin kaksinkertainen tarkkuus.
 
Näin ollen Newtonin menetelmän suppenemisnopeus ei ole verrannollinen toiseen potenssiin, vaikka funktio onkin derivoituva kaikkialla.
 
* Jos funktion ensimmäinen derivaatta nollakohdassa on nolla, suppenemisnopeus ei ole verrannollinen toiseen potenssiin.
 
*Jos funktion ensimmäinen derivaatta nollakohdassa on nolla, suppenemisnopeus ei ole verrannollinen toiseen potenssiin.
Olkoon
:<math>f(x) = x^2 \!</math>
7 080

muokkausta