Aaltoyhtälö

Aaltoyhtälö on differentiaaliyhtälö, joka kuvaa harmoonista aaltoa joka etenee väliaineessa, kuten yllä. Yhtälö saa eri muotoja riippuen kuinka aaltoa välitetään ja mikä on väliaineena.

Kaikki aallot eivät ole sinusoidisia. Yksi esimerkki epäsinusoidisesta aallosta on pulssi joka kulkee maassa lepäävää narua pitkin, joka osoittaa x-akselin suuntaan, etenee nopeudella c. Pulssin korkeus maasta on φ. Matka, jonka pulssi kulkee ajanhetken t ja ajanhetken 0 välillä on ct.

Yksiulotteisena tämä yhtälö saa muodon:

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}.$

Yleinen ratkaisu d'Alembertin antamana on

$\phi (x,t)=F(x-ct)+E(x+ct).$

F ja E voidaan ajatella kahdeksi pulssiksi, jotka etenevät alas narua, toinen +x ja toinen -x suuntaan. Jos korvaamme ylempään x:n tilalle, suunnat x, y, z, niin saamme yhtälön, joka etenee kolmessa ulottuvuudessa.

Epälineaarinen aaltoyhtälö voi aiheuttaa massan liikettä.

Schrödingerin yhtälö kuvaa hiukkasen aaltomaista käyttäytymistä kvanttimekaniikassa. Ratkaisuja tähän yhtälöön ovat aaltofunktiot, joilla voidaan kuvata hiukkasen todennäköisyysjakaumaa.