Ero sivun ”Kontinuumihypoteesi” versioiden välillä

[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa
Sml (keskustelu | muokkaukset)
Ei muokkausyhteenvetoa
Rivi 3:
:Ei ole olemassa joukkoa, jonka mahtavuus on suurempi kuin kokonaislukujen joukon, mutta pienempi kuin reaalilukujen joukon.
 
Matemaattisessa tekstissä kokonaislukujen mahtavuutta merkitään <math>\aleph_0</math> (luetaan [[alef-nolla]]) ja reaalilukujen mahtavuutta merkitään <math>2^{\aleph_0}</math> (reaalilukujen joukon mahtavuus on siis sama kuin kokonaislukujen joukon [[potenssijoukko|potenssijoukon]]). Nyt voimme esittää kontinuumihypoteesin seuraavassa muodossa:
 
:Ei ole olemassa joukkoa <math>S</math>, siten että <math> \aleph_0 < |S| < 2^{\aleph_0}.</math>.
Tämä väite on yhtäpitävä väitteen <math>2^{\aleph_0} = \aleph_1</math> kanssa.
 
==Todistumattomuus==
==Todistamattomuus==
 
[[Georg Cantor]] uskoi kontinuumihypoteesin pitävän paikkaansa ja yritti monta vuotta todistaa tätä, mutta tuloksetta. [[David Hilbert]] otti otaksuman ensimmäiseksi listaansa [[Hilbertin ongelmat|avoimista ongelmista]], jotka hän esitti kansainvälisissä matemaattisessa kongressissa Pariisissa vuonna [[1900]].
Rivi 14:
[[Kurt Gödel]] osoitti vuonna 1940, että kontinuumihypoteesiä ei voida todistaa vääräksi [[Zermelon-Frankelin joukko-oppi|Zermelon-Frankelin joukko-opissa]] vaikka mukaan liitettäisiin [[valinta-aksiooma]]. [[Paul Cohen]] osoitti vuonna 1963 että kontinuumihypoteesiä ei myöskään voida todistaa oikeaksi Zermelon-Fraenkelin joukko-opissa. Siten kontinuumihypoteesi on riippumaton [[ZFC|valinta-aksioomalla laajennetusta Zermelon-Fraenkelin joukko-opista]]. Molemmat tulokset olettavat Zermelon-Frankelin aksioomien olevan ristiriidattomia. Aksioomien ristiriidattomuuden uskotaan yleisesti pitävän paikkaansa.
 
Kontinuumihypoteesi on läheisessä suhteessa monien [[analyysi]]n tulosten kanssa, [[pistejoukkotopologia]]ssa ja [[mittateoria]]ssa. Hypoteesin riippumattomuuden perusteella monien muiden otaksumien on myös osoitettu olevan riippumattomia aksiomisysteemistä.
 
==Lähteet==