Ero sivun ”Cantorin joukko” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Rivi 19:
Aluksi saattaa näyttää hämmentävältä, että poistoissa jää jäljelle ylipäänsä mitään, sillä poistetun välin pituus on sama kuin alkuperäisen välin. Tarkemmin katsottuna jäljelle jää kuitenkin pisteitä, sillä keskimmäinen poistettu kolmannes on [[avoin joukko]] eli sen päätepisteitä ei poisteta. Siten poistamalla jana (1/3, 2/3) alkuperäisestä välistä [0, 1] jää jäljelle pisteet 1/3 ja 2/3. Seuraavatkaan poistot eivät poista näitä pisteitä, sillä poistettu väli kuuluu aina toisen välin sisälle. Siten Cantorin joukko ei ole [[tyhjä joukko|tyhjä]].
Voidaan osoittaa myös, että Cantorin joukko on [[ylinumeroituva]], eli se on mahtavampi joukko kuin luonnollisten lukujen joukko <math>\mathbb{N}</math>. Todistus perustuu siihen, että Cantorin joukon pisteet voidaan esittää 3-kannassa desimaaliesityksinä, joissa ei ole mukana ykkösiä (vain 0 ja 2). Tämän jälkeen ylinumeroituvuus voidaan todistaa [[Cantorin diagonaaliargumentti|Cantorin diagonaaliesityksen]] tapaan.
== Viitteet ==
| |||