Ero sivun ”Metrinen avaruus” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 1:
'''Metrinen avaruus''' on [[matematiikka|matematiikassa]] joukko, jossa on määritelty pisteiden
==Määritelmä==
Metrinen avaruus on pari <math>(X, d)</math>, missä <math>X</math> on [[joukko]] ja <math>d : X \times X \to \mathbb{R}</math> kuvaus (ns. [[metriikka]] eli etäisyysfunktio), joka kaikilla joukon <math>X</math> alkioilla <math>x</math>, <math>y</math> ja <math>z</math> toteuttaa ehdot
# <math>d(x,y) \ge 0</math>
# <math>d(x,y) = 0</math> jos ja vain jos <math>x = y</math>
# <math>d(x,y) = d(y,x)</math>
# <math>d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)</math> (kolmioepäyhtälö).
Metristä avaruutta <math>(X, d)</math> kutsutaan usein vain metriseksi avaruudeksi <math>X</math>, jos käytössä oleva metriikka <math>d</math> on asiayhteydestä selvä. Metrisen avaruuden <math>X</math> alkioita kutsutaan yleensä pisteiksi, ja lukua <math>d(x,y)</math> pisteiden <math>x</math> ja <math>y</math> väliseksi etäisyydeksi.
==Esimerkkejä==
* Mielivaltaisessa epätyhjässä joukossa <math>X</math> voidaan määritellä ns. diskreetti metriikka määrittelemällä <math>d(x, y) = 0</math> jos <math>x = y</math> ja <math>d(x, y) = 1</math> muutoin.
* [[Reaaliluku|Reaalilukujen]] joukossa pisteiden erotuksen itseisarvo määrittelee (ns. tavallisen reaalisen) metriikan <math>d(x, y) = |x - y|</math>.
| |||