Ero sivun ”Kunta (matematiikka)” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 1:
'''Kunta''' ({{k-en|field}}) tarkoittaa [[algebra]]ssa kahdella laskutoimituksella varustettua [[joukko]]a, joka on kommutatiivinen [[rengas]] ja lisäksi sisältää kaikkien alkioidensa <math>a\ne0</math> käänteisalkiot. Kuntia ovat esimerkiksi monet lukualueet, tunnetuimpina [[rationaaliluku|rationaalilukujen]] joukko <math>\mathbb Q</math> ja
<math>K</math>:n laskutoimituksia merkitään plus- ja kertomerkillä (<math>+</math> ja <math>\cdot</math>).
Rivi 19:
# Kaikilla <math>x, y</math> on <math>x \cdot y = y \cdot x</math> (tulon vaihdantalaki)
Vaikka nimitykset (yhteenlasku, kertolasku, summa, tulo) antavat mielikuvan, että kunnassa pelataan luvuilla, niin näin ei välttämättä ole − alkiot voivat olla muitakin käsitteitä kuin lukuja.
Siitä ei kuitenkaan pääse mihinkään, että nuo yhdeksän ominaisuutta ovat juuri ne, jotka tunnetusti esiintyvät [[kompleksiluku|luvuilla]].
Se, etteivät kaikki kunnat koostu luvuista, nähdään seuraavasta esimerkistä.
:<math>parillinen + parillinen = parillinen, \quad parillinen \cdot parillinen = parillinen</math>
Rivi 30:
:<math>pariton + parillinen = pariton, \quad pariton \cdot parillinen = parillinen</math>
Kaikki mahdolliset laskut saadaan suoritetuiksi, eivätkä tulokset tunnu yhtään hullummilta! Huomataan erityisesti, että <math>parillinen + x = x</math> ja <math>pariton \cdot x = x</math> olipa <math>x</math> sitten <math>pariton</math> tai <math>parillinen</math>. Niinpä <math>parillinen</math> vastaa kohdan 2 nolla-alkiota <math>0</math> ja pariton kohdan 7 ykkösalkiota <math>1</math>. Jokaisen muunkin kohdan voimassaolo voidaan yksityiskohtaisesti todentaa joukossa <math>K = \{parillinen, pariton\} = \{0, 1\}</math>, joka siis on kunta. Tämä kunta onkin suppein mahdollinen. Se kuuluu [[äärellinen kunta|äärellisiin kuntiin]]eli '''Galois'n kuntiin'''. Huomaa kuitenkin, että tässä kunnassa <math>1 +1 = 0</math>; mitään kakkosta ei ole!
Muita esimerkkejä kunnista ovat [[kompleksiluku]]jen kunta <math>\mathbb C</math> sekä kaikki tämän '''alikunnat''', joita nimitetään '''lukukunniksi'''. Näitä ovat mm. [[rationaaliluku|rationaalilukujen]] kunta <math>\mathbb Q</math>, [[reaaliluku|reaalilukujen]] kunta <math>\mathbb R</math>, [[algebrallinen luku|algebralliset]] lukukunnat <math>\mathbf Q(\mu)</math> ja kaikkien algebrallisten lukujen kunta <math>\mathbb A</math>. Jos <math>K</math> on mielivaltainen kunta, niin kaikki sen alkioiden avulla muodostetut yhden tai useamman "muuttujan" rationaalifunktiot (polynomien osamäärät) muodostavat kunnan, ns. '''rationaalifunktiokunnan'''. Tällainen voidaan puolestaan laajentaa mm. '''algebralliseksi funktiokunnaksi'''.
| |||