Wikipedia

Ero sivun ”Algebrallinen geometria” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
Thijs!bot (keskustelu | muokkaukset)
166 217 muokkausta
p Botti lisäsi: sv:Algebraisk geometri
JannE (keskustelu | muokkaukset)
seulojat
44 881 muokkausta
p typo
Rivi 25:
Säännölliset funktiot affiinissa ''n''-avaruudessa on siten täsmälleen samat kuin n:n muuttujan polynomit ''k'':ssa. Merkitään säännöllisiä funktioita <math>{\mathbb A}^n</math>:ssä <math>k[{\mathbb A}^n]</math>.
 
Sanomme, että polynomi katoaa tietyssä pisteessä jos tässä pisteessapisteessä funktion arvo on nolla. OlkooOlkoon ''S'' joukko polynomeja <math>k[{\mathbb A}^n]</math>:ssä. Joukon ''S'' häviää joukko, ''V''(''S''), on ne pisteet <math>\mathbb{A}^n</math>:ssä missä jokainen polynomi ''S'':ssä häviää. Toisin sanoen,
 
:''V''(''S'')={(''t''<sub>1</sub>,...,''t''<sub>''n''</sub>) | kaikilla <math>p \in S</math>, ''p''(''t''<sub>1</sub>,...,''t''<sub>''n''</sub>) = 0}.
Rivi 49:
Kuten [[jatkuva funktio|jatkuvat funktiot]] ovat topologiassa usein käytettyjä kuvauksia [[topologinen avaruus|topologisten avaruuksien]] välillä ja [[sileä funktio|sileät funktiot]] ovat vastaavasti kuvauksia [[differentioituva monisto|differentioituvien monistojen]] välillä, on olemassa myös algebrallisten joukkojen välillä funktioita, säännöllisiä funktioita. Algebrallisen joukon <math>V \subset {\mathbb A}^n</math> '''säännöllinen funktio''' määritellään joukon <math>{\mathbb A}^n</math> rajoittumaksi ''V'':hen. Voi näyttää epäluonnolliselta rajoitukselta vaatia säännöllinen funktion määrittelyjoukoksi myös alkuperäisen funktion määrittelyjoukkoa laajempi avaruus, mutta tilanne on analoginen [[normaali avaruus|normaalien]] [[topologinen avaruus|topologisten avaruuksien]] kohdalla, missä [[Tietzen jatkolause]] takaa että suljetun joukon jatkuva funktio voidaan aina jatkaa jatkuvaksi funktioksi ympäröivään avaruuteen.
 
KutennKuten säännöllisen funktio affiinissa avaruudessa, säännölliset funktiot V:ssä muodostavat renkaan, jota merkitään k[V]. Tämä rengas on nimeltään '''V:n koordinaattirengas'''.
 
Koska V:n säännölliset funktiot saadaan <math>{\mathbb A}^n</math>:n säännöllisitäsäännöllisistä funktioista, niillä on yhteys niiden koordinaattirenkaaseen. Erityisesti, saadakseen funktion k[V]:ssä otamme funktion <math>k[{\mathbb A}^n]</math>:sta ja sanomme että kaksi funktiota ovat samat jos ne ovat samat V:ssä. Tämä tarkoittaa että funktioiden erotus häviää V:ssä. Tästä nähdään, että k[V] on tekijäjoukko <math>k[{\mathbb A}^n]/I(V)</math>.
 
== Affiinien varistojen kategoria ==
Rivi 59:
Jos V' on varisto joka sisältyy <math>{\mathbb A}^m</math>:han, sanomme että f on säännöllinen funktio V:ltä V':uun, jos f:n maalijoukko sisältyy V':uun.
 
Tämän ominaisuuden perusteella kaukkikaikki affiinit varistot muodostavat [[kategoria]]n, missä objektit ovat affiineja varistoja ja morfismit säännöllisiä kuvauksia. Seuraava lause karakterisoi affiinien varistojen kategorian:
 
: Affiinien varistojen kategoria on [[duaali (kategoriateoria)|duaalinen kategoria]] äärellisesti viritettyjen redusoitujen k-algebrojen ja niiden homomorfismien kategorialle.
Rivi 69:
Verrataan tätä varistoon V(y=x<sup>3</sup>). Tämä on [[kolmannen asteen yhtälö]]. Kun x kasvaa, origon ja pisteen (x,x<sup>3</sup>) kautta kulkevan suoran kulmakerroin kasvaa rajatta kuten ennenkin. Mutta toisin kuin ennen, kun x pienenee rajatta, kulmakerroin kasvaa edelleen rajatta. Siten varistojen V(y=x<sup>2</sup>) ja V(y=x<sup>3</sup>) käyttäytyminen äärettömyydessä on erilaista. Affiinissa avaruudessa on kuitenkin vaikeaa määritellä käsite "äärettömyydessä".
 
RatkaistaakseenRatkaistakseen ongelman on työskenneltävä niin sanotussa [[projektiivinen avaruus|projektiivisessa avaruudessa]]. Projektiivisen avaruuden ominaisuudet ovat samat kuin [[kompaktius|kompaktin]] [[Hausdorffin avaruus|Hausdorffin avaruuden]]. Projektiivinen avaruus saadaan siis lisäämällä avaruuteen äärettömyyspisteitä ja määrittelemällä äärettömille topologiset ympäristöt. Tätä kutsutaan prosessia topologiassa nimellä [[Aleksandrovin kompaktisointi]]. Varistojen käyttäytyminen äärettömyydessä antaa lisätietoa varistoista. Osoittautuu, että V(y=x<sup>3</sup>):lla on [[matemaattinen singulariteetti|singulariteetti]] yhdessä lisätyssä pisteessä, mutta V(y=x<sup>2</sup>) on sileä varisto.
 
Vaikka [[projektiivinen geometria]] löydettiin alun perin synteettisen geometrian kautta, [[homogeeninen koordinaatisto]] mahdollisti algebrallisten tekniikoiden käytön algebrallisen geometrian tutkimisessa. Edelleen projektiivisten tekniikoiden käyttö yksinkertaisti ja tiukensi monia algebrallisen geometrian tuloksia. Esimerkiksi tunnettu [[Bezout'n lause]] kahden variston leikkauspisteiden lukumäärästä voidaan esittää tiukimmassa muodossaan ainoastaan projektiivisessa avaruudessa. Tämän takia projektiivinen avaruus näyttelee keskeistä roolia algebrallisessa geometriassa.
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Algebrallinen_geometria”