Ero sivun ”Osittaisdifferentiaaliyhtälö” versioiden välillä

Lisää
(Lisää)
Matematiikassa '''osittaisdifferentiaaliyhtälöOsittaisdifferentiaaliyhtälö''' (lyh. '''ODY''') on [[differentiaaliyhtälö]], joka kuvaa funktion riippuvuutta useista keskenään riippumattomista muuttujista. Osittaisdifferentiaaliyhtälöitä käytetään monien matemaattisten ja fysikaalisten ongelmien, kuten lämmön johtumisen tai aaltoliikkeen etenmisenetenemisen, muotoiluun ja ratkaisuun. Keskenään täysin erilaisilla fysikaalisilla ongelmilla voi olla samanlainen matemaattinen muotoilu.
 
Esimerkkejä yksinkertaisista osittaisdifferentiaaliyhtälöistä:
:<math>\frac{\part^2 u}{\part x^2} + \frac{\part^2 u}{\part y^2}=0, </math>
 
== MerkintöjäTermejä ja merkintöjä ==
 
Osittaisderivaattamerkintöjä lyhennetään usein seuraavasti:
 
:<math>u_x = {\part u \over \part x}</math>.
 
Aikaderivaatta taas lyhennetään useinjoskus pistemerkinnän avulla, mutta tavallisemmin alaindeksillä ''t'':
:<math>u_{xy} = {\part^2 u \over \part y\, \part x} = {\part \over \part y } \left({\part u \over \part x}\right). </math>
 
:<math>\dot u = u_t = {\part u \over \part t}=\dot u</math> .
Usein käytetään myös niin kutsuttua [[nabla]] -operaattoria, mikä karteesisissa koordinaateissa kirjoitetaan seuraavasti:
 
Jos yhtälössä esiintyy ainoastaan ensimmäisiä derivaattoja, sanotaan yhtälön olevan ''ensimmäisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö''. Monissa käytännön sovelluksissa tarvitaan kuitenkin toisia derivaattoja
 
:<math>u_{xx} = \frac{\part^2 u}{\part x^2}</math>
 
ja vastaavasti
 
:<math>u_{xy} = {\part^2 u \over \part y\, \part x} = {\part \over \part y } \left({\part u \over \part x}\right). </math>.
 
Usein käytetään myös niin kutsuttua [[nabla]] -operaattoria, mikä karteesisissa koordinaateissa kirjoitetaan seuraavasti:
 
<math>\nabla=(\part_x,\part_y,\part_z)</math> missä <math>\part_x = {\part \over \part x}</math>
 
== Ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys ==
Aikaderivaatta taas lyhennetään usein pistemerkinnän avulla:
Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkeavuus on vielä tavallisia [[differentiaaliyhtälö]]itäkin heikompi, eikä analyyttistä ratkaisua suljetussa muodossa ole olemassa joitakin poikkeuksia lukuunottamatta. Koska ratkaisussa saattaa olla useita muuttujia, tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta poiketen osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisuun voi jäädä vakioidensijasta kokonaisia tuntemattomia funktioita. Esimerkiksi erittäin yksinkertaisen yhtälön
 
:<math>\frac{\part u}{\part x} = 0</math>
 
ratkaisuksi kelpaa mikä tahansa funktio
 
:<math>u(x,y) = f(y)\,</math>.
 
Siksi yksilöllisen ratkaisun löytämiseksi on tunnettava etsittävän funktion käyttäytymistä laajemmin. Tyypillinen osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu on ''[[reuna-arvotehtävä]]'', sillä voidaan osoittaa, että pisteen <math>(x,y)</math> kautta tason alueessa kulkee taskalleen yksi ratkaisukäyrä, joka toteuttaa ehdon <math>u = u(x,C)</math> (''C'' on vakio) silloin, jos alueessa on voimassa [[Lipschitzin ehto]]
 
:<math>|f(x,y_1) - f(x,y_2)| \le L|y_1 - y_2|</math>.
 
Yleisin ratkeavuutta koskeva tulos on [[Cauchyn&ndash;Kovalevskajan lause]], jonka mukaan yhtälöä koskevan [[Cauchyn tehtävä]]n analyyttinen ratkaisu on yksikäsitteisenä olemassa, jos ODY on [[analyyttinen funktio|analyyttinen]] ratkaisun ja sen kaikkien derivaattojen suhteen. On kuitenkin löydettävissä jo melko yksinkertaisiakin osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, joilla tämä ehto ei toteudu. Myös siinä tapauksessa, että ratkaisu on olemassa ja se on yksikäsitteinen, sillä saattaa olla ominaisuuksia, jotka tekevät siitä epäkäytännöllisen.
 
Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen tapahtuu käytännössä lähes aina [[simulointi|tietokonemallien]] avulla.
<math>{\part u \over \part t}=\dot u</math>
 
== Tunnettuja osittaisdifferentiaaliyhtälöitä ==
===Toisen kertaluvun ODYja ===
Tyypillisiä fysikaalisten systeemien kuvauksia.
*[[Elliptinen osittaisdifferentiaaliyhtälö|Elliptiset yhtälöt]]
** [[Laplacen yhtälö]]
** [[Poissonin yhtälö]]
*[[Hyperbolinen osittaisdifferentiaaliyhtälö|Hyperboliset yhtälöt]]
** [[Aaltoyhtälö]]
*[[Parabolinen osittaisdifferentiaaliyhtälö|Paraboliset yhtälöt]]
** [[Lämpöyhtälö]]
* *[[Schrödingerin yhtälö]]
 
=== Korkeamman kertaluvun ODYja ===
* [[Laplacen yhtälö]]
Näitä tulee vastaan tavallisesti [[solitoni]]en yhteydessä.
* [[Poissonin yhtälö]]
*[[Dimin yhtälö]] (3.kl)
* [[Aaltoyhtälö]]
*[[Kortewegin&ndash;de Vriesin -yhtälö]] (4.kl)
* [[Lämpöyhtälö]]
* [[Schrödingerin yhtälö]]
 
== Katso myös ==
6 761

muokkausta