6 368
muokkausta
Ero sivun ”QR-hajotelma” versioiden välillä
Siistimistä
p (iw,t) |
(Siistimistä) |
||
|
'''QR-hajotelma''' on eräs [[matriisihajotelma]], jolla siis pyritään ilmaisemaan annettu [[matriisi]] ▼
jollakin tavoin yksinkertaisempien matriisien tulona. QR-hajotelma voidaan muodostaa mille tahansa matriisille. Kompleksikertoimisen <math>m \times n</math>-matriisin <math>A</math> QR-hajotelma on tulo
▲'''QR-hajotelma''' on eräs [[matriisihajotelma]], jolla siis pyritään ilmaisemaan [[matriisi]]
:<math>A=QR\,</math>,
▲Kompleksikertoimisen <math>m \times n</math>-matriisin <math>A</math> QR-hajotelma on tulo
missä <math>Q</math> on <math>m \times m</math> [[unitaarimatriisi]] ja <math>R</math> on <math>m \times n</math> [[kolmiomatriisi|yläkolmiomatriisi]]. Erityisesti reaalikertoimisen matriisin ''A'' tapauksessa <math>Q</math> on [[ortogonaalimatriisi]]. Koska kahden [[kolmiomatriisi]]n tulo on myös kolmiomatriisi, QR-hajotelma voi siältää myös useita yläkolmiomatriiseja, jolloin
:<math>A= QR_1R_2R_3...\,</math>
Hajotelma voidaan teoreettisesti perustaa [[Gramin–Schmidtin ortonormeeraus|Gramin–Schmidtin ortonormeeraukseen]], mutta käytännössä se muodostetaan kertomalla vasemmalta joko [[Householderin matriisi|Householderin peilausmatriiseilla]] tai [[Givensin rotaatiomatriisi|Givensin rotaatiomatriiseilla]].
QR-hajotelma on erittäin käyttökelpoinen työkalu [[lineaariavaruus | lineaariavaruuksien]] [[projektio | projektioiden]] käsittelyssä ja sitä käytetään ylsisesti myös matriisien [[numeerinen matematiikka|numeerisessa]] käsittelyssä. QR-hajotelmasta voidaan päätellä [[matriisin rangi]] eli [[kuva-avaruus|kuva-avaruuden]] dimensio ja hajotelman matriisista <math>Q</math> löytyy myös kuva-avaruuden [[kanta]] ortonormeerattuna.
== Katso myös ==
*[[LU-hajotelma]]
{{Tynkä/Matematiikka}}
| |||