Ero sivun ”QR-hajotelma” versioiden välillä

2 merkkiä poistettu ,  14 vuotta sitten
Siistimistä
p (iw,t)
(Siistimistä)
'''QR-hajotelma''' on eräs [[matriisihajotelma]], jolla siis pyritään ilmaisemaan annettu [[matriisi]]
{{korjattava/Määritelmä}}
jollakin tavoin yksinkertaisempien matriisien tulona. QR-hajotelma voidaan muodostaa mille tahansa matriisille. Kompleksikertoimisen <math>m \times n</math>-matriisin <math>A</math> QR-hajotelma on tulo
'''QR-hajotelma''' on eräs [[matriisihajotelma]], jolla siis pyritään ilmaisemaan [[matriisi]]
hyödyllisellä tavalla jollain tavoin yksinkertaisempien matriisien tulona. Tulosta pyritään usein päättelemään
jokin hajotetun matriisin ominaisuus. Hajotelmia on monia ja jotkin niistä vaativat matriisilta erityisiä ominaisuuksia,
kuten [[reaaliluku | reaaliset kertoimet]], [[symmetrinen matriisi |symmetrisyyden]], tai erityiset [[ominaisarvo|ominaisarvot]].
QR-hajotelma voidaan muodostaa mille tahansa matriisille.
 
:<math>A=QR\,</math>,
Kompleksikertoimisen <math>m \times n</math>-matriisin <math>A</math> QR-hajotelma on tulo
<math>A=QR</math>, missä <math>Q</math> on <math>m \times m</math> [[unitaarimatriisi]] ja
<math>R</math> on <math>m \times n</math> [[kolmiomatriisi|yläkolmiomatriisi]].
Reaalikertoimisen <math>A</math>-matriisin tapauksessa <math>Q</math> on [[ortogonaalimatriisi]].
 
missä <math>Q</math> on <math>m \times m</math> [[unitaarimatriisi]] ja <math>R</math> on <math>m \times n</math> [[kolmiomatriisi|yläkolmiomatriisi]]. Erityisesti reaalikertoimisen matriisin ''A'' tapauksessa <math>Q</math> on [[ortogonaalimatriisi]]. Koska kahden [[kolmiomatriisi]]n tulo on myös kolmiomatriisi, QR-hajotelma voi siältää myös useita yläkolmiomatriiseja, jolloin
Hajotelma voidaan teoreettisesti perustaa [[Gram-Schmidt ortonormeeraus|Gram-Schmidt ortonormeerausprosessille]],
mutta käytännössä se muodostetaan kertomalla vasemmalta joko [[Householderin matriisi|Householderin peilausmatriiseilla]]
tai [[Givensin rotaatiomatriisi | Givensin rotaatiomatriiseilla]].
 
:<math>A= QR_1R_2R_3...\,</math>
QR-hajotelma on erittäin käyttökelpoinen työkalu [[lineaariavaruus | lineaariavaruuksien]] [[projektio | projektioiden]] käsittelyssä.
 
Lisäksi siitä voidaan päätellä matriisin rangi (eli [[kuva-avaruus| kuva-avaruuden]] dimensio) ja <math>Q</math>:sta löytyy myös
Hajotelma voidaan teoreettisesti perustaa [[Gramin&ndash;Schmidtin ortonormeeraus|Gramin&ndash;Schmidtin ortonormeeraukseen]], mutta käytännössä se muodostetaan kertomalla vasemmalta joko [[Householderin matriisi|Householderin peilausmatriiseilla]] tai [[Givensin rotaatiomatriisi|Givensin rotaatiomatriiseilla]].
kuva-avaruuden [[kanta]] ortonormeerattuna.
 
QR-hajotelma on erittäin käyttökelpoinen työkalu [[lineaariavaruus | lineaariavaruuksien]] [[projektio | projektioiden]] käsittelyssä ja sitä käytetään ylsisesti myös matriisien [[numeerinen matematiikka|numeerisessa]] käsittelyssä. QR-hajotelmasta voidaan päätellä [[matriisin rangi]] eli [[kuva-avaruus|kuva-avaruuden]] dimensio ja hajotelman matriisista <math>Q</math> löytyy myös kuva-avaruuden [[kanta]] ortonormeerattuna.
 
== Katso myös ==
*[[LU-hajotelma]]
 
{{Tynkä/Matematiikka}}
6 368

muokkausta