|
'''Laskutoimitukseksi''' eli operaatioksi kutsutaan matematiikassa tiettyjä vakiintuneita tapoja liittää yhteen tai kahteen alkioon yksi alkio. [[aritmetiikka|AlkeisaritmetiikassaAritmetiikassa]] laskutoimitukset ovat toimintoja, joissa yhden tai kahden luvun avulla muodostetaan uusi luku, jota kutsutaan laskutoimituksen arvoksi. [[Yhteenlasku]] <math>1+2=3</math> on esimerkki laskutoimituksesta, jossa otetaan kaksi lukua (<math>1</math> ja <math>2</math>) ja niiden pari muodostaa uuden luvun <math>3</math>.
Neljä [[peruslaskutoimitukset|peruslaskutoimitusta]] ovat:
Yleisiä alkeislaskutoimituksia ovat mm.:
* [[yhteenlasku]]
* [[vähennyslasku]]
* [[kertolasku]]
* [[jakolasku]]
Yleisesti alkeislaskutoimituksiksi käsitetään mm.:
* [[potenssi|potenssiin korotus]]
* [[juuri (laskutoimitus)|juuren ottaminen]]
==Formaalista määritelmästä==
==Formaali määritelmä==
Matematiikassa laskutoimitukselle ei aina anneta formaalia määritelmää, ja annetut määritelmät voivat vaihdella kirjallisuudesta ja asiayhteydestä riippuen. Yleensä [[magma (matematiikka)|magmoja]] ja niiden erikoistapauksia käsitellässä joukon <math>E \, </math> laskutoimitus määritellään [[funktio|kuvaukseksi]] <math>E\times E\to E</math> eli näissä yhteyksissä laskutoimitus on synonyymi [[Binäärioperaatio|binäärioperaatiolle]] (esimerkiksi ([http://www.math.helsinki.fi/kurssit/algII/moniste/Osa1.pdf Kalevi Suominen: Algebra II]). Laskutoimituksen ei välttämättä tarvitse operoida lukuja. Esimerkiksi edellisen määritelmän mukaan [[joukko-oppi|joukko-opillinen]] leikkaus ja unioni ovat laskutoimituksia mielivaltaisen joukon <math>E \, </math> [[potenssijoukko|potenssijoukolle]] <math>\mathcal{P}(E). \, </math> Näin määriteltynä [[rationaaliluku|rationaalilukujen]] yhteenlasku on laskutoimitus, mutta rationaalilukujen jakolasku määriteltynä funktiona <math> \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} - \{ 0 \} \rightarrow \mathbb{Q} </math> ei ole. Tämä ei kuitenkaan estä kutsumasta jakolaskua laskutoimitukseksi muissa yhteyksissä, kuten esimerkiksi aritmetiikassa.
Laskutoimituksen määritelmä vaihtelee kirjallisuudesta riippuen. Yleensä joukossa <math>E</math> ''f'':ää sanotaan laskutoimitukseksi jos ''f'' on kuvaus <math>E\times E\to E</math> ([http://www.math.helsinki.fi/kurssit/algII/moniste/Osa1.pdf Kalevi Suominen: Algebra II]). Lisäksi epätyhjälle joukolle ''V'' ja kunnalle ''K'' voidaan määritellä laskutoimitus kuvauksena <math>K\times V\to V</math> (Keijo Väänänen: Lineaarialgebra I). Toisinaan myös sisätuloa voidaan kutsua laskutoimitukseksi. (Vesa Mustonen: Analyysi II)
Huomaa, että näiden määritelmien mukaan laskutoimitus on voidaan muodostaa vain kahden joukon välille. Määritelmän mukaan kuvaus
:<math>\omega: X_1 \times X_2 \times \ldots \times X_n \rightarrow Y, \, </math>
ei ole laskutoimitus. Niin ikään määritelmästä seuraa, että reaalilukujen jakolasku ei ole laskutoimitus, mutta joukossa <math>R\setminus \{0\}</math> määritelty tavanomainen jakolasku on laskutoimitus. [[Joukko|Joukkoja]] <math>X_1, X_2</math> kutsutaan määrittelyjoukoiksi ja joukkoa <math>Y \, </math> kutsutaan maalijoukoksi. [[Binäärioperaatio|Binäärioperaatiot]] ovat esimerkkejä usein käytetyistä laskutoimituksista. Rationaalilukujen jakolasku määriteltynä funktiona <math> \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} - \{ 0 \} \rightarrow \mathbb{Q} </math> on esimerkki laskutoimituksesta, joka ei ole binäärioperaatio.
Laskutoimitukset voivat käsitellä myös muitakin kuin lukuja. Esimerkiksi käy [[vektori|vektorien]] kertominen [[skalaari|skalaarilla]] tai kahden tai useamman joukon joukko-opillinen leikkaus.
===Operaatio ja operaattori===
''Operaatiolla'' tarkoitetaan yleensä laskutoimitusta, joissa kiinnostus kohdistuu niiden laskutoimituksellisiin ominaisuuksiin, kuten esimerkiksi alkeislaskutoimituksissa. Esimerkiksi yhteenlaskussa tärkeintä on löytää kahden yhteenlaskettavan luvun summa. Vaikka laskutoimitus määriteltäisiinkin täsmällisesti funktiona, niin operaatioiden yhteydessä laskutoimituksella voidaan tarkoittaa myös itse laskua, kuten esimerkiksi merkintää <math>1+2=3</math>.
[[Vektoriavaruus|Vektoriavaruuksissa]] [[vektori|vektorin]] kertominen [[skalaari|skalaarilla]], joka on kuvaus <math>K\times V\to V</math>, saatetaan katsoa laskutoimitukseksi koulukunnasta riippuen. Toisinaan myös vektorien [[sisätulo|sisätuloa]] voidaan kutsua laskutoimitukseksi.
''Operaattorilla'' tarkoitetaan yleensä laskutoimitusta, jonka arvoista ei suoranaisesti olla kiinnostuneita, vaan mielenkiinto kohdistuu operaattoreiden muodostaman joukon ominaisuuksiin. Esimerkiksi käy [[Banachin avaruus|Banachin avaruuden]] jatkuvat [[funktionaali|funktionaalit]], joiden arvoista ei sinänsä olla kiinnostuneita, vaan mielenkiinto kohdistuu niiden muodostamaan [[duaaliavaruus|duaaliavaruuteen]], jossa funktionaaleille on määritelty laskutoimituksia.
Joskus täsmällistä määritelmää ei anneta lainkaan, vaan laskutoimituksiksi kutsutaan niitä kuvauksia, joiden on rakenteellinen merkitys vastaa yhteen- ja kertolaskun roolia eri lukujoukoissa.
Operaatio ja operaattori -jako on lähinnä tarkastelutapaan liittyvä, joten kyseessä ei ole mikään täsmällinen erottelu.
{{Korjattava}}
| 