Ero sivun ”Gaussin laki sähkökentille” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
yhteys Coulombin lakiin |
Differentiaalimuodon johto |
||
Rivi 1:
'''Gaussin laki sähkökentille''' antaa suljetun pinnan läpi virtaavan [[sähkövuo]]n <math>\Phi</math> ja pinnan sisäänsä sulkeman [[sähkövaraus|sähkövarauksen]] välisen relaation, ja on yksi [[Maxwellin yhtälöt|Maxwellin yhtälöistä]]. Sen integraalimuoto on:
: <math>\Phi = \oint_A \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = Q_A</math>
Rivi 5:
jossa <math>\mathbf{D}</math> on [[sähkövuon tiheys]] (yksikkönä C/m<sup>2</sup>), <math>d\mathbf{A}</math> on pinnan differentiaalisen neliön pinta-ala siten, että ulospäin suuntautuva normaalivektori määrää sen suunnan, <math>Q_\mbox{A}</math> on pinnan sisäänsä sulkema varaus ja <math>\oint_A</math> on [[pintaintegraali]] pinnan ''A'' yli.
[[Gaussin divergenssilause|Gaussin divergenssilauseen]] mukaan [[vektorikenttä|vektorikentän]] pintaintegraali suljetun pinnan ''A'' yli (eli kentän vuo) saadaan integroimalla [[divergenssi|divergenssiä]] pinnan sisäänsä sulkeman tilavuuden ''V'' yli, eli
:<math> \oint_A \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{D} \ dV </math>.
Pinnan sisäänsä sulkeman sähkövarauksen suuruus saadaan toisaalta integroimalla sähkövaraustiheyttä '''ρ''' (yksikkönä C/m<sup>3</sup>) saman tilavuuden yli, joten Gaussin laki saadaan muotoon
:<math>\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho </math> ▼
:<math> \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{D} \ dV = \iiint_V \rho \ dV </math>.
Koska tämä pätee ''kaikille'' suljetuille pinnoille, saadaan
jota kutsutaan lain ''differentiaalimuodoksi''.
== Yhteys Coulombin lakiin ==
| |||