Osittaisdifferentiaaliyhtälö

Matematiikassa osittaisdifferentiaaliyhtälö (ODY) on differentiaaliyhtälö, joka kuvaa funktion riippuvuutta useista keskenään riippumattomista muuttujista. Osittaisdifferentiaaliyhtälöitä käytetään monien matemaattisten ja fysikaalisten ongelmien, kuten lämmön johtumisen tai aaltoliikkeen etenmisen, muotoiluun ja ratkaisuun. Keskenään täysin erilaisilla fysikaalisilla ongelmilla voi olla samanlainen matemaattinen muotoilu.

Esimerkkejä yksinkertaisista osittaisdifferentiaaliyhtälöstä:

${\frac {\partial u}{\partial x}}=0\,$

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,$

Merkintöjä

Osittaisderivaattamerkintöjä lyhennetään usein seuraavasti:

$u_{x}={\partial u \over \partial x}$

$u_{xy}={\partial ^{2}u \over \partial y\,\partial x}={\partial \over \partial y}\left({\partial u \over \partial x}\right).$

Usein käytetään myös niin kutsuttua nabla -operaattoria, mikä karteesisissa koordinaateissa kirjoitetaan seuraavasti:

$\nabla =(\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z})$ missä $\partial _{x}={\partial \over \partial x}$

Aikaderivaatta taas lyhennetään usein pistemerkinnän avulla:

${\partial u \over \partial t}={\dot {u}}$

Tunnettuja osittaisdifferentiaaliyhtälöitä

• Laplacen yhtälö
• Poissonin yhtälö
• Aaltoyhtälö
• Lämpöyhtälö
• Schrödingerin yhtälö

Linkkejä

• Partial differential equations mathworld.wolfram.com:n osittaisdifferentiaaliyhtälösivut (englanniksi)