Ero sivun ”Hausdorffin dimensio” versioiden välillä

'''Hausdorffin dimensio''' eli '''fraktaalidimensio[[fraktaali]]dimensio''' on tavallisen [[ulottuvuus|ulottuvuuden]] käsitteen yleistys. Kaikissa "normaaleissa" tilanteissa (yksi-, kaksi- ja kolmiulotteiset objektit) se vastaa intuitiivisesti ymmärrettävää ulottuvuuden käsitettä. Eräissä tapauksissa Hausdorffin dimensio voi kuitenkin saada myös ei-kokonaislukuarvon.

Lewis Fry Richardson tutki 60-luvulla empiirisesti rannikoiden pituuksia päätyen lopputulokseen, jonka mukaan rantaviivaa approksimoivalla [[monikulmio]]lla, jonka sivujen pituus on <math>n</math>, on aina <math>\lambda* n^{-D}\,</math> kappaletta sivuja. Richardsonille tässä esiintyvä <math>D</math> oli vain [[eksponentti]] vailla sen kummempaa merkitystä, mutta arvioitaessa rannan pituutta osoittautuu, että <math>D</math> on riippumaton tavasta, jolla pituus mitataan. Tämän perusteella <math>D</math> on siis jollakin tavalla pelkkää sovitusparametria tärkeämpi muuttuja.

Näin löydetty suure <math>D</math> eli Hausdorffin dimensio, ei nimestään huolimatta ole geometrinen ulottuvuus samassa mielessä kuin meidän käsittämämme [[Euklidinen geometria|Euklidiset ulottuvuudet]]. Hausdorffin dimensio kuvaa tutkittavan kuvion ''itsesimilaarisuusastetta'', eli sitä, kuinka ”itseääntoistava” tutkittava kuvio on. Oletetaan, että kuvio F jakautuu itse kuvion kanssa samanlaisiin pienempiin osiin, joita on <math>n</math> kappaletta ja joiden koko on <math>1/\gamma</math> koko kuvion koosta. Tällöin

:<math>D=\frac{-\log n}{\log \frac {1}{\gamma}}= \frac{\log n}{\log \gamma}</math>.