Ero sivun ”Gramin–Schmidtin ortogonalisoimismenetelmä” versioiden välillä

wl fix, typo
(Hieman viilausta.)
(wl fix, typo)
 
[[Tiedosto:Gram–Schmidt process.svg|thumb|Grammin–SchmidtinGramin–Schmidtin ortogonalisoimismenetelmän kaksi ensimmäistä vaihetta.]]
'''Gramin–Schmidtin ortogonalisoimismenetelmä''' on menetelmä, jolla voidaan tehdä äärellinen jono [[sisätuloavaruus|sisätuloavaruuden]] V [[lineaarinen riippumattomuus|lineaarisesti riippumattomia]] [[vektori|vektoreita]] ortogonaalisiksi eli keskenään [[kohtisuoruus|kohtisuoriksi]] siten että ortogonaalinen jono virittää V:n saman [[vektoriavaruudenLineaarinen aliavaruus|aliavaruuden]] kuin alkuperäinen jono. Toisin sanoen ortogonaalinen jono on saman aliavaruuden [[vektoriavaruuden kanta|kanta]] kuin alkuperäinen jono. Ortogonaalisesta jonosta saadaan normittamalla ortonormaali.
 
Menetelmä on nimetty tanskalaisen [[Jørgen Pedersen Gram]]in ja saksalaisen [[Erhard Schmidt]]in mukaan.
 
==Gramin-SchmidtinGramin–Schmidtin menetelmä==
 
 
Olkoon ( '''w'''<sub>1</sub>, ..., '''w'''<sub>n</sub> ) vapaa, ääreellinen jono sisätuloavaruudessa V, n ≥ 1. Halutaan muodostaa ortonormaali jono ( '''u'''<sub>1</sub>, ..., '''u'''<sub>n</sub> ), jolle pätee span( '''w'''<sub>1</sub>, ..., '''w'''<sub>n</sub> ) = span( '''u'''<sub>1</sub>, ..., '''u'''<sub>n</sub> ) kaikilla k <math> \in </math> { 1, ..., n } eli jonot ( '''w'''<sub>1</sub>, ..., '''w'''<sub>n</sub> ) ja ( '''u'''<sub>1</sub>, ..., '''u'''<sub>n</sub> ) virittävät V:n saman aliavaruuden. Toimitaan seuraavasti:
 
Valitaan <math> \boldsymbol{v}_1 = \boldsymbol{w}_1 </math>.
 
<math>\boldsymbol{v}_2 = \boldsymbol{w}_2 - proj_{V_{1}} (\boldsymbol{w}_2) = \boldsymbol{w}_2 - \dfrac{\langle \boldsymbol{w}_2, \boldsymbol{v}_1 \rangle}{{\Vert \boldsymbol{v}_1 \Vert}^2} \; \boldsymbol{v}_1, </math> missä V<sub>1</sub> on vektorin '''v'''<sub>1</sub> virittämä aliavaruus ja proj<sub>V<sub>1</sub></sub>('''w'''<sub>2</sub>) on vektorin '''w'''<sub>2</sub> kohtisuora [[projektioProjektio aliavaruudelle(lineaarialgebra)|projektio]] aliavaruudelle]] V<sub>1</sub>. Merkintä <math> \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle </math> tarkoittaa vektoreiden '''a''' ja '''b''' [[sisätuloavaruus|sisätuloa]]; <math> \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle \in \mathbf{R}</math>. Merkintä <math> \Vert \boldsymbol{a} \Vert </math> tarkoittaa vektorin '''a''' [[sisätuloavaruusNormi (matematiikka)|normia]]; <math> \Vert \boldsymbol{a} \Vert^2 = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{a} \rangle.</math> Lisäksi huomataan, että sisätulon määritelmästä seuraa <math> \Vert \boldsymbol{a} \Vert \geq 0 </math> ja erityisesti pätee <math> \Vert \boldsymbol{v}_1 \Vert = \Vert \boldsymbol{w}_1 \Vert > 0 </math>, koska muutoin '''w'''<sub>1</sub> = '''0''', mikä ei ole mahdollista, koska jono ( '''w'''<sub>1</sub>, ..., '''w'''<sub>n</sub> ) on vapaa.
 
<math>\boldsymbol{v}_3 = \boldsymbol{w}_3 - proj_{V_{2}} (\boldsymbol{w}_3) = \boldsymbol{w}_3 - \dfrac{\langle \boldsymbol{w}_3, \boldsymbol{v}_1 \rangle}{{\Vert \boldsymbol{v}_1 \Vert}^2} \; \boldsymbol{v}_1 - \dfrac{\langle \boldsymbol{w}_3, \boldsymbol{v}_2 \rangle}{{\Vert \boldsymbol{v}_2 \Vert}^2} \; \boldsymbol{v}_2, </math> missä V<sub>2</sub> on vektoreiden '''v'''<sub>1</sub> ja '''v'''<sub>2</sub> virittämä aliavaruus ja proj<sub>V<sub>2</sub></sub>('''w'''<sub>3</sub>) on vektorin '''w'''<sub>3</sub> kohtisuora projektio aliavaruudelle V<sub>2</sub>.
 
==Esimerkki==
Sisätuloavaruuden '''R'''<sup>3</sup> (sisätulona pistetulo) eräs kanta on jono ( '''w'''<sub>1</sub>, '''w'''<sub>2</sub>, '''w'''<sub>3</sub> ), missä '''w'''<sub>1</sub> = [1 0 1]<sup>T</sup>, '''w'''<sub>2</sub> = [0 1 2]<sup>T</sup> ja '''w'''<sub>3</sub> = [1 -1 2]<sup>T</sup>. Sovelletaan jonoon Gramin ja SchmidtinGramin–Schmidtin menetelmää eli ortonormalisoidaan jono.
 
Valitaan