Ero sivun ”Ortogonaaliset polynomit” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Perustiedot alkuun |
Ominaisuuksia |
||
Rivi 5:
on nolla, aina kun <math>n \neq m</math>. Tässä esiintyvä [[funktio]] <math>W(x)</math> on sisätulon painofunktio, joka voi olla myös ykkönen. Tämän ominaisuuden vuoksi tietty ortogonaalipolynomien joukko muodostaa [[funktioavaruus|polynomiavaruuden]] [[kanta|kannan]] samaan tapaan kuin vaikkapa koordinaatiston kantavektorit muodostavat [[vektoriavaruus|vektoriavaruuden]] kannan. Integrointirajojen <math>a</math> ja <math>b</math> väliin jäävää aluetta kutsutaan polynomiperheen ''ortogonaalisuusväliksi''. Rajoista jompikumpi tai molemmat voivat olla äärettömiä. Kanta-ominaisuutensa vuoksi ortogonaalipolynomeilla on runsaasti käytännön sovelluksia. Niiden avulla voidaan esimerkiksi kirjoittaa [[sarja (matematiikka)|sarjakehitelmiä]] muille funktioille.
== Ominaisuuksia ==
=== Generoiva funktio ===
Ortogonaalisia polynomeja esiintyy sellaisen toisen kertaluvun [[differentiaaliyhtälö]]n ratkaisuna, joka on muotoa
:<math>Q(x)y'' + L(x)y' + \lambda y = 0\,</math>,
kunhan [[polynomi]] <math>Q(x)</math> on korkeintaan toista astetta ja polynomi <math>L(x)</math> lineaarinen. Jokaiselle ortogonaalisten polynomien joukolle voidaan löytää polynomit generoiva funktio, joka tunnetaan '''Rodriguesin kaavana'''. Rodriguesin kaavan yleinen muoto on
:<math>P_n = \frac{1}{W(x)e_n}\frac{d^n}{dx^n}(W(x)[Q(x)]^n)</math>,
missä painofunktio
:<math>W(x) = \frac{e^{\int (L(x) / Q(x))dx}}{Q(x)}</math>
ja <math>e_n</math> polynomijoukosta riippuva kerroin.
=== Rekursiokaava ===
Jokaiselle ortogonaalisten polynomien joukolle voidaan myös löytää [[rekursio|rekursiivinen]] kaava, jolla pystytään laskemaan joukon seuraava polynomi, kun kaksi edellistä polynomia tunnetaan. Yleinen rekursiokaava on muotoa
:<math>P_{n+1} = (a_nx + b_n)P_n - c_nP_{n-1}\,</math>
=== Juurten reaalisuus ja erisuuruus ===
Voidaan osoittaa, että jokaisen ortogonaalipolynomin kaikki [[juuri|juuret]] ovat erisuuria, reaalisia ja että ne kaikki sijaistevat kyseisen polynomijoukon ortogonaalisuusvälillä. Voidaan myös osoittaa, että jonon <math>n</math>:nnen polynomin kaikki juuret sijaitsevat <math>(n+1)</math>:nnen polynomin juurten välissä.
== Tunnettuja ortogonaalisia polynomeja ==
Ortogonaalisia polynomeja syntyy mm. eräiden [[differentiaaliyhtälö]]iden ratkaisuna yhtälön sarjaratkaisun katketessa polynomiksi. Tunnettuja ortogonaalipolynomiparvia ovat
*Legendren polynomit
| |||