Ero sivun ”Kompaktius” versioiden välillä

* Olkoon ''X'' HausdoffHausdorff ja valitaan ''X'':stä piste ''x'' sekä äärellinen osajoukko ''A'', joka ei sisällä ''x'':ää. Nyt ''x'':lle ja ''A'':lle voidaan löytää erilliset ympäristöt, olkoon ''x'':n ympäristö ''U''(''x'') ja ''A'':n pisteen ''a'' ympäristö ''V''(''a''). Tällöin leikkaus kaikista ''U''(''x'') ja yhdiste kaikista ''V''(''a'') ovat vaaditut ''x'':n ja ''A'':n ympäristöt.

Huomaa, että jos ''A'' on [[ääretön]], ei lause ole välttämättä voimassa mielivaltaisen monelle ympäristölle, sillä leikatessa joukkoja voi jokin ''x'':n ympäristö leikkautua kokonaan pois. Väite on kuitenkin voimassa, jos ''A'' on kompakti: Otetaan äärellinen ''A'':n osapeite {''V''(''a'')}. Tällä tavoin nähdään, että Hausdorffin avaruudessa jokainen piste voidaan erottaa ympäristöllä kompakteista joukoista, joka ei sisällä kyseistä pistettä. Toistamalla päättelyä nähdään, että kaksi erillistä kompaktia joukkoa voidaan Hausdoffin avaruudessa erottaa ympäristöillä. Tässä siis ikään kuin äärellisen joukon alkio on korvattu kompaktilla joukolla Hausdorffin avaruudessa.