Ero sivun ”Avoin joukko” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 3:
Esimerkiksi jos A on kaikkien reaalilukujen joukko R ja B on sellaisten reaalilukujen x joukko jotka ovat välillä 1<x<2 niin B on avoin joukko (reaaliakselin "tavallisessa" topologiassa). Jokaiselle B:n alkiolle a on nimittäin voimassa 1<a<2, jolloin a-1 ja 2-a ovat positiivisia etäisyyksiä päätepisteistä. Valitsemalla luku h yhtäsuureksi kuin lyhyempi näistä etäisyyksistä ja asettamalla r=h/2 nähdään että a:n r-säteinen ympäristö U(a;r) eli ne pisteet x joille a-r<x<a+r ovat kokonaan B:ssä. Tällaista väliä B merkitään tavallisesti ]1,2[ ja sitä sanotaan avoimeksi väliksi. Piste a on joukon B sisäpiste. Avoimen joukon jokainen piste on määritelmän mukaan sisäpiste.
Reaaliakselin topologiassa jokainen avoin joukko muodostuu numeroituvasta joukosta erillisiä avoimia välejä. Tässä on syytä huomata että avoimen välin päätepiste voi olla myös äärettömyydessä. Esimerkiksi väli ]-<math>\infty</math>,5[ eli joukko <math>\{x\in \mathbb{R}:x<5\}</math> ja väli ]-2,<math>\infty</math>[ eli joukko <math>\{x\in\mathbb{R}:x>-2\}</math> ovat avoimia välejä tavallisessa topologiassa.
'''Avoin väli''' ]a,b[ on siis niiden reaalilukujen joukko jotka ovat a:n ja b:n välissä. Sen sijaan päätepisteet a ja b eivät kuulu ko. väliin. Jos myös päätepisteet kuuluvat väliin kyseessä on [[suljettu väli]]. Sitä merkitää [a,b].
| |||