Ero sivun ”Avoin joukko” versioiden välillä

[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Leo Salo (keskustelu | muokkaukset)
Ei muokkausyhteenvetoa
Leo Salo (keskustelu | muokkaukset)
Ei muokkausyhteenvetoa
Rivi 3:
Esimerkiksi jos A on kaikkien reaalilukujen joukko R ja B on sellaisten reaalilukujen x joukko jotka ovat välillä 1<x<2 niin B on avoin joukko (reaaliakselin "tavallisessa" topologiassa). Jokaiselle B:n alkiolle a on nimittäin voimassa 1<a<2, jolloin a-1 ja 2-a ovat positiivisia etäisyyksiä päätepisteistä. Valitsemalla luku h yhtäsuureksi kuin lyhyempi näistä etäisyyksistä ja asettamalla r=h/2 nähdään että a:n r-säteinen ympäristö U(a;r) eli ne pisteet x joille a-r<x<a+r ovat kokonaan B:ssä. Tällaista väliä B merkitään tavallisesti ]1,2[ ja sitä sanotaan avoimeksi väliksi. Piste a on joukon B sisäpiste. Avoimen joukon jokainen piste on määritelmän mukaan sisäpiste.
 
Reaaliakselin topologiassa jokainen avoin joukko muodostuu numeroituvasta joukosta erillisiä avoimia välejä. Tässä on syytä huomauttaahuomata että avoimen välin päätepiste voi olla myös äärettömyydessä. Esimerkiksi väli ]-<math>\infty</math>,5[ eli joukko x<5 ja väli ]-2,<math>\infty</math>[ eli joukko x>-2 ovat avoimia välejä.