Ero sivun ”Hamiltonin mekaniikka” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Välitallennus |
Toinen välitallennus |
||
Rivi 6:
Kannattaa huomata, että suoraviivaisen liikkeen tapauksessa <math>\dot{q}</math>:t ovat nopeuksia ja konjugoitu impulssi vastaa täsmälleen kappaleen [[liikemäärä]]ä. Pyörimisliikkeen tapauksessa <math>\dot{q}</math>:t ovat kulmanopeuksia ja konjugoidun impulssin määritelmä vastaa kappaleen [[pyörimismäärä]]ä.
Määritellään nyt uusi funktio
:<math>H = \sum_i \dot{q}_i p_i - L</math>,
jota kutsutaan systeemin '''Hamiltonin funktioksi''' (engl. ''Hamiltonian''). Tämän funktion avulla saadaan kirjoitettua systeemiä kuvaavat liikeyhtälöt.
:<math>\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}</math>
:<math>\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}</math>
sekä
:<math>\frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t}</math>
Kaksi ensimmäistä yhtälöä ovat systeemin '''Hamiltonin yhtälöt''' eli '''kanoniset yhtälöt'''. Ne muodostavat jokaista systeemiin kuuluvaa kappaletta kohti 2N ensimmäisen kertaluvun [[differentiaaliyhtälö]]n ryhmää. Tämä ei kuitenkaan yleensä haittaa, sillä 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen on ryhmänäkin huomattavasti helpomaa kuin korkeamman kertaluvun yhtälöt, joiden ratkaisemiseen [[Newtonin mekaniikka|Newtonin]] ja Lagrangen lähestymistavat johtavat. Lisäksi osoittautuu, että Hamiltonin yhtälöiden muoto on matemaattiselta kannalta aivan erityisen oivallinen. Yhtälöillä on myös syvällinen yhteys fysikaalisen systeemin toimintaan.
Viimeinen yhtälö ei ole varsinainen liikeyhtälö, mutta se osoittaa, että <math>H</math> riippuu ajasta vain ja ainoastaan silloin jos aika esiintyy Hamiltonin funktiossa eksplisiittisesti. Toisin sanoen Hamiltonin funktio on (niitä hyvin epätavallisia poikkeuksia, joissa aika esiintyy, lukuunottamatta) säilyvä suure. Voidaan osoittaa, että Hamiltonin funktio vastaa systeemin kokonaisenergiaa.
Hamiltonin mekaniikka on mekaniikan perusformalismi käytännössä kaikessa mekaniikkaan liittyvässä tutkimuksessa. Aivan erityisen tehokkaaksi työkaluksi se on osoittautunut [[kvanttimekaniikka|kvanttimekaniikassa]], jonka formalismi perustuu käytännössä kokonaan Hamiltonin mekaniikkaan.
== Katso myös ==
| |||