Versio 13. heinäkuuta 2020 kello 17.52 muokkaa Jni (keskustelu \| muokkaukset) seulojat, ylläpitäjät 22 369 muokkausta p math, toinen esimerkin permutaatio johdantoon ← Vanhempi muutos		Nykyinen versio 13. heinäkuuta 2020 kello 18.40 muokkaa kumoa Jni (keskustelu \| muokkaukset) seulojat, ylläpitäjät 22 369 muokkausta +k-permutaatio, vaikka ei varsinainen permutaatio olekaan mutta koska opetetaan lukiossa niin hyvä olla täälläkin, +lähde, +historia
Rivi 1: [[Kuva:Permutations RGB.svg\|thumb\|170px\|Kolme eriväristä palloa voidaan järjestää kuuteen erilaiseen järjestykseen. Kuvassa kukin rivi esittää yhtä järjestystä eli permutaatiota.]] __NOTOC__ [[matematiikka\|Matematiikassa]] '''permutaatioilla''' tarkoitetaan [[alkio (joukko-oppi)\|alkioiden]] järjestystä. Esimerkiksi järjestetyn [[joukko\|joukon]] {1,2,3,4} yksi permutaatio on (1,3,2,4) ja toinen esimerkiksi (2,1,4,3). Permutaatioiden lukumäärä kn-alkioisessa järjestetyssä joukossa on kn:n [[kertoma]] <math>kn !</math>.<ref name=h1/> Tämä nähdään seuraavasti: Oletetaan että joukossa on k<math>n</math> kappaletta alkioita. Otetaan ensimmäinen paikka jonosta: tähän voidaan asettaa mikä tahansa alkio alkuperäisestä joukosta. Jonon seuraavaan paikkaan voi asettaa minkä tahansa jäljelle jääneistä <math>kn-1</math>:stä alkiosta. Tätä alkioiden asettelua jatketaan kunnes kaikki alkiot on käyty läpi. Tuloksena kaikkien mahdollisten jonojen lukumäärälle saadaan <math>kn \times (kn-1) \times \ldots \times 2 \times 1 = kn !</math> Jos järjestettävissä alkioissa on samoja alkioita, esimerkiksi (1,1,2,4) permutaatioiden lukumäärässä samat alkiot luetaan eriäviksi. Näin ollen kertoma <math>k4 !</math> sisältää esimerkiksi järjestyksen (1,2,1,4) kaksi kertaa, sillä 1-alkioiden paikat voidaan vaihtaa keskenään. Siten voidaan myös sanoa, että permutaatio äärellisestä joukosta <math>X</math> on [[bijektio]] itseensä. Voidaan myös järjestää tietyn kokoisia osajoukkoja. Esimerkiksi jos järjestettävänä ovat kirjaimet a, b ja c, niin meillä on 3! eli kuusi järjestystä: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Jos kuitenkin haluamme järjestää niistä vain kaksi kirjainta kerrallaan, niin meillä on seuraavat kuusi järjestystä: ab, ba, ac, ca, bc, cb. Yleisemmin jos meillä on <math>n</math> eri alkiota ja <math>k</math> on kokonaisluku <math>1 \le k \le n</math>, niin <math>k</math>:n mittaisten osajonojen eli [[variaatio (kombinatoriikka)\|variaatioiden]] lukumäärä on:<ref name="Grimaldi"/> :<math>P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}</math> Tätä kutsutaan myös toisinaan k-permutaatioksi. Kun halutaan tietää, kuinka monta erilaista pienempijäsenistä osajoukkoa joukosta alkioita voidaan muodostaa puhutaan [[kombinaatio]]ista. Rivi 19 ⟶ 26: : \|     \|       \|     \|       \|     \| : 4 – 3      3 – 4      4 – 2 == Historia == Ensimmäinen maininta permutaatiosta on tuntemattoman mystikon joskus vuosien 200 ja 600 jaa. välillä kirjoittamassa hebreankielisessä ''Sefer Yetzirah'' -teoksessa. Tosin jo aikaisemmin kreikkalaisen filosofin [[Ksenokrates\|Ksenokrateen]] on sanottu yrittäneen laskea permutaatioita. Ensimmäinen länsimainen oppikirjamainen esitys on [[Jakob Bernoulli]]n ''Ars Conjectandi'' vuodelta 1713.<ref name="Grimaldi"/> ==Katso myös== Rivi 26 ⟶ 36: {{Viitteet\|viitteet= * <ref name=h1>{{Kirjaviite \| Tekijä=Häsä, Jokke & Rämö, Johanna \| Nimeke=Johdatus abstraktiin algebraan \| Sivut= 64 \| Julkaisupaikka=Helsinki \| Julkaisija=Gaudeamus \| Vuosi=2015 \| Tunniste=ISBN 978-952-495-361-0}}</ref> * <ref name="Grimaldi">{{Kirjaviite \| Tekijä = Grimaldi, Ralph P. \| Nimike = Discrete and Combinatorial Mathematics: an Applied Introduction \| Vuosi = 1999 \| Selite = 4. painos \| Julkaisija = Addison Wesley \| Isbn = 0-201-19912-2 \| Sivut = 7,42 \| Kieli = {{en}} }}</ref> }}

Ero sivun ”Permutaatio” versioiden välillä