Ero sivun ”Hermiittinen matriisi” versioiden välillä

ei muokkausyhteenvetoa
'''Hermiittinen matriisi''' on neliömatriisi, jonka alkiot ovat [[kompleksiluku]]ja ja joka onitsensäon itsensä [[konjugaattinen transpoosi]], eli alkio rivillä ''i'' ja sarakkeella ''j'' on sama kuin alkio rivillä ''j'' ja sarakkeella ''i'':
 
:<math>a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}</math>
Jokainen hermiittinen matriisi on [[normaali matriisi|normaali]], kuten [[spektrilause]]esta nähdään. Sen mukaan jokainen hermiittinen matriisi voidaan [[diagonaalinen matriisi|diagonalisoida]] [[unitaarinen matriisi|unitaariseksi matriisiksi]] ja syntyneen matriisin alkiot ovat reaalilukuja. Siten hermiittisen matriisin [[ominaisarvo]]t ovat reaalisia ja edelleen eri ominaisarvojen muodostamat ominaisvektorit ovat ortogonaalisia. On mahdollistä löytää '''C'''<sup>''n''</sup>:n [[ortonormaali kanta]], joka koostuu yksinomaan ominaisvektoreista
 
Kahden hermiittisen matriisin summa on hermiittinen matriisi ja kääntyvän hermiittisen matriisin käänteismatriisi on hermiittinen. Hermiittisten matriisien ''A'' ja ''B'' tulo on hermiittinen vain josmatriisitjos matriisit kommutoivat, eli ''AB'' = ''BA''.
 
Hermiittiset ''n''&times;''n'' matriisit muodostavan [[reaaliluku]]jen suhteen vektoriavaruuden, mutta ei [[kompleksiluku]]jen suhteen. Tämän vektoriavariidenvektoriavaruuden [[dimensio]] on ''n''<sup>2</sup>. (Yksi [[vapausaste]] päälävistäjän alkiota kohti ja kaksi vapausastetta lävistäjän yläpuolella olevaa alkiota kohti.)
 
Jos hermiittisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat positiivisia, matriisia kutsutaan [[positiivisesti definiitiksi]]. Jos taas kaikki ovat epänegatiivisia, on matriisi [[positiivisesti semidefiniitti]].
Rekisteröitymätön käyttäjä