Wikipedia

Ero sivun ”Hausdorffin dimensio” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
p Botti korjasi HTML:ää
Pientä parantelua. Kaipaa paljon lisää.
Rivi 1:
{{korjattava}}
 
'''Hausdorffin dimensio''' eli '''fraktaalidimensio''' on tavallisen ulottuvuuden käsitteen yleistys. Kaikissa "normaaleissa" tilanteissa (yksi-, kaksi- ja kolmiulotteiset objektit) se vastaa intuitiivisesti ymmärrettävää ulottuvuuden käsitettä. Eräissä tapauksissa Hausdorffin dimensio voi kuitenkin saada myös ei-kokonaislukuarvon.
[[Georg Cantor]] kehitti aikoinaan todella kekseliään menetelmän erilaisten käyrien pituuden arvioimiseksi. Esimerkiksi mitattaessa rantaviivaa, sitä pitkin piirretään n-säteisiä ympyröitä pitkin rannikkoa, jolloin muodostuu alue, jolla on pinta-ala. Ala jaetaan 2n:llä, jolloin saadaan arvio rannikon pituudelle. Kun pienennetään n:ää, saadaan rajatta tarkentuva arvio rannikon pituudelle.▼
 
== Taustaa ==
Lewis Fry Richardson tutki 60-luvulla empiirisesti rannikoiden pituuksia päätyen lopputulokseen, jonka mukaan rantaviivaa approksimoivalla [[monikulmio]]lla, jonka sivujen pituus on n, on sivuja <math>\lambda*n^{-D}</math> kappaletta. Richardsonille D oli vain eksponentti vailla sen kummempaa merkitystä, mutta arvioitaessa rannan pituutta huomataan D:n olevan riippumaton tavasta jolla pituus mitataan. D on siis huomattavasti keskeisempi muuttuja.▼
▲[[Georg Cantor]] kehitti aikoinaan todella kekseliäänkätevän menetelmän erilaisten käyrien pituuden arvioimiseksi. Esimerkiksi mitattaessa rantaviivaa, sitä pitkin piirretään <math>n</math>-säteisiä ympyröitä pitkin rannikkoa, jolloin muodostuu alue, jolla on jokin pinta-ala. AlaKun tämä ala jaetaan <math>2n</math>:llä, jolloin saadaan arvio rannikon pituudelle. Kun pienennetäännyt <math>n</math>:ää pienennetään, saadaan rajatta tarkentuva arvio rannikon pituudelle.
 
▲Lewis Fry Richardson tutki 60-luvulla empiirisesti rannikoiden pituuksia päätyen lopputulokseen, jonka mukaan rantaviivaa approksimoivalla [[monikulmio]]lla, jonka sivujen pituus on <math>n</math>, on sivujaaina <math>\lambda*n^{-D}\,</math> kappaletta sivuja. Richardsonille tässä esiintyvä <math>D</math> oli vain eksponentti vailla sen kummempaa merkitystä, mutta arvioitaessa rannan pituutta osoittautuu, huomataanettä <math>D:n</math> olevanon riippumaton tavasta, jolla pituus mitataan. Tämän perusteella <math>D</math> on siis huomattavastijollakin tavalla pelkkää sovitusparametria keskeisempitärkeämpi muuttuja.
D, nimestään huolimatta, ei ole ulottuvuus samassa mielessä kuin meidän käsittämämme Euklidiset ulottuvuudet. D, eli Hausdorffin dimensio tarkoittaa kuvion itsesimilaarisuusastetta, sitä, kuinka ”itseääntoistava” kuvio on. Oletetaan, että kuvio F jakautuu pienennöksiin, joita on n kappaletta ja joiden koko on 1/&gamma; kuvion koosta. Tällöin<br /><br />▼
 
<math>n=\frac{1}{\gamma^D}</math><br /><br />▼
== Määritelmä ==
<math>D=\frac{-log n}{log \frac {1}{\gamma}}=▼
▲Näin löydetty suure <math>D,</math> nimestääneli huolimattaHausdorffin dimensio, ei nimestään huolimatta ole geometrinen ulottuvuus samassa mielessä kuin meidän käsittämämme Euklidiset ulottuvuudet. D, eli Hausdorffin dimensio tarkoittaakuvaa tutkittavan kuvion ''itsesimilaarisuusastetta'', eli sitä, kuinka ”itseääntoistava” tutkittava kuvio on. Oletetaan, että kuvio F jakautuu pienennöksiinitse kuvion kanssa samanlaisiin pienempiin osiin, joita on <math>n</math> kappaletta ja joiden koko on <math>1/&\gamma;</math> koko kuvion koosta. Tällöin<br /><br />
\frac{log n}{log \gamma}</math><br /><br />
 
F:n ollessa jana, pienennöksiä mahtuu suoralle <math>1/\gamma</math> kappaletta. Jana voidaan jakaa vaikkapa neljään osaan, jolloin <math>n=4</math> ja <math>\gamma=1/4</math>, jolloin fraktaalidimensioksi saadaan yksi. Neliön taas voi esimerkiksi jakaa yhdeksään pienempään neliöön mittakaavassa <math>1/3</math>, jolloin saadaan <math>D=2</math>. tällainen itsesimilaarinen jako ei päde esim. ympyrälle, sillä silmukatonta sulkeutuvaa käyrää ei voi jakaa samankaltaisiin pienempiin osiin.▼
▲:<math>n=\frac{1}{\gamma^D}</math><br /><br />eli
▲:<math>D=\frac{-log n}{log \frac {1}{\gamma}}= \frac{log n}{log \gamma}</math>.
 
▲Jos kuvio F:n ollessaon jana, sen pienennöksiä mahtuu suoralle <math>1/\gamma</math> kappaletta. Jana voidaan siis jakaa vaikkapa neljään osaan, jolloin <math>n=4</math> ja <math>\gamma=1/4</math>, jolloin fraktaalidimensioksi <math>D</math> saadaan yksi, kuten tietysti pitääkin. Neliön taas voi esimerkiksi jakaa vaikkapa yhdeksään pienempään neliöön mittakaavassa <math>1/3</math>, jolloin saadaanvastaavasti <math>D=2</math>. tällainen(Tällainen itsesimilaarinen jako ei päde esim. ympyrälle, sillä silmukatonta sulkeutuvaa käyrää ei voi jakaa samankaltaisiin pienempiin osiin.)
 
[[Luokka:Matematiikka]]
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Hausdorffin_dimensio”