Ero sivun ”Diskriminantti” versioiden välillä

[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
OM (keskustelu | muokkaukset)
määritelmän tarkennus, ulkoasun ja sanamuotojen muokkausta, kuva pois
Lisätty yleinen diskriminantti
Rivi 1:
Polynomin ''p(x)=a<sub>n</sub>x<sup>n</sup>+...+a<sub>1</sub>x+a<sub>0</sub>'', missä kertoimet ''a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,...,a<sub>n</sub>'' kuuluvat annettuun [[kunta (matematiikka)|kuntaan]] ''K'' '''diskriminantti''' on (2''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1)&times;(2''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1) [[matriisi]]n
'''Diskriminantti''' on toisen asteen yhtälön (<math>ax^2+bx+c=0</math>) [[toisen asteen yhtälö|ratkaisukaavassa]] esiintyvä juurrettava lauseke.
 
<math>\left(\begin{matrix}
Diskriminantti, <math>D</math>, lasketaan kaavalla
& a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_0 & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\
:<math>D = b^2-4ac\rm,</math>
& 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_0 & 0 & \ldots & 0 \\
jossa ''b'' on ensimmäisen asteen termin kerroinosa, ''a'' toisen asteen termin kerroinosa ja ''c'' vakio. Voidaan myös sanoa, että ''c'' on luvun yksi kerroin. Diskriminantin arvosta voidaan päätellä yhtälön reaalisten ratkaisujen eli reaalijuurien lukumäärä:
& \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\
& 0 & 0& \ldots\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_0 \\
& na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots &\ldots & 0 \\
& 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots & 0 \\
& \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\
& 0 & 0 & \ldots & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & a_1 \\
\end{matrix}\right)</math>
[[determinantti]].
 
==Toisen asteen yhtälö==
 
Tunnetuin erikoistapaus diskriminantista on toisen asteen polynomin ''P(x)=ax<sup>2</sup>+bx+c'' diskriminantti ''D = b^2-4ac''. Toisen asteen polynomin tapauksessa diskriminantin arvosta voidaan päätellä yhtälön reaalisten ratkaisujen eli reaalijuurien lukumäärä:
* Jos <math>D > 0</math>, niin yhtälöllä on kaksi erisuurta reaaliratkaisua.
* Jos <math>D < 0</math>, niin yhtälöllä ei ole yhtäkään reaaliratkaisua.