Ero sivun ”Diskriminantti” versioiden välillä

677 merkkiä lisätty ,  14 vuotta sitten
Lisätty yleinen diskriminantti
(määritelmän tarkennus, ulkoasun ja sanamuotojen muokkausta, kuva pois)
(Lisätty yleinen diskriminantti)
Polynomin ''p(x)=a<sub>n</sub>x<sup>n</sup>+...+a<sub>1</sub>x+a<sub>0</sub>'', missä kertoimet ''a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,...,a<sub>n</sub>'' kuuluvat annettuun [[kunta (matematiikka)|kuntaan]] ''K'' '''diskriminantti''' on (2''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1)&times;(2''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1) [[matriisi]]n
'''Diskriminantti''' on toisen asteen yhtälön (<math>ax^2+bx+c=0</math>) [[toisen asteen yhtälö|ratkaisukaavassa]] esiintyvä juurrettava lauseke.
 
<math>\left(\begin{matrix}
Diskriminantti, <math>D</math>, lasketaan kaavalla
& a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_0 & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\
:<math>D = b^2-4ac\rm,</math>
& 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_0 & 0 & \ldots & 0 \\
jossa ''b'' on ensimmäisen asteen termin kerroinosa, ''a'' toisen asteen termin kerroinosa ja ''c'' vakio. Voidaan myös sanoa, että ''c'' on luvun yksi kerroin. Diskriminantin arvosta voidaan päätellä yhtälön reaalisten ratkaisujen eli reaalijuurien lukumäärä:
& \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\
& 0 & 0& \ldots\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_0 \\
& na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots &\ldots & 0 \\
& 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots & 0 \\
& \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\
& 0 & 0 & \ldots & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & a_1 \\
\end{matrix}\right)</math>
[[determinantti]].
 
==Toisen asteen yhtälö==
 
Tunnetuin erikoistapaus diskriminantista on toisen asteen polynomin ''P(x)=ax<sup>2</sup>+bx+c'' diskriminantti ''D = b^2-4ac''. Toisen asteen polynomin tapauksessa diskriminantin arvosta voidaan päätellä yhtälön reaalisten ratkaisujen eli reaalijuurien lukumäärä:
* Jos <math>D > 0</math>, niin yhtälöllä on kaksi erisuurta reaaliratkaisua.
* Jos <math>D < 0</math>, niin yhtälöllä ei ole yhtäkään reaaliratkaisua.