Ero sivun ”Nagelin piste” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p p |
error |
||
Rivi 25:
== Todistus ==
[[Tiedosto:NagelPunt.PNG|pienoiskuva|Nagelin piste on aina olemassa. Tekstin todistelu seuraa kuvan merkintöjä.]]
Todistetaan, että kolmion <math>\scriptstyle \triangle ABC</math> mainitut ceviaanit leikkaavat toisensa yhteisessä pisteessä. Tekstissä seurataan viereisen kuvan merkintöjä. Kolmion sivujen jatkeet, eli sivusuorat, ovat ympyrän tangentteja, jossa esimerkiksi sivun <math>\scriptstyle AC</math> tangenttipiste on <math>\scriptstyle A_v</math> ja sivun <math>\scriptstyle AB</math> tangenttipiste on <math>\scriptstyle A_o</math>. Nyt janojen <math>\scriptstyle AA_v</math> ja <math>\scriptstyle AA_o</math> pituudet ovat samat, koska ne ovat saman pisteen kautta kulkevat yhteisen ympyrän tangentteja. Merkitsemällä janan pituutta pystyviivoilla, saadaan <math>\scriptstyle |AA_v| = |AA_o|</math>.
Merkitään kärjen <math>\scriptstyle A</math> vastaisen sivun <math>\scriptstyle BC</math> tangenttipistettä <math>\scriptstyle A'</math> ja tarkastellaan janojen pituuksia ensin kärken <math>\scriptstyle A</math> kannalta. Kärjen <math>\scriptstyle A</math> vasemman sivulla kärjessä <math>\scriptstyle C</math> risteää kaksi sivusuoraa, jotka voidaan myös tulkita yhteisen ympyrän tangenteiksi. Silloin on <math>\scriptstyle |CAv| =| CA'|</math> (1). Vastaava tilanne on pisteessä <math>\scriptstyle B</math>, jossa <math>\scriptstyle |BAo| = |BA'| </math> (2). Kun jana <math>\scriptstyle AA_v</math> kirjoitetaan pisteen <math>\scriptstyle C</math> avulla murtoviivana <math>\scriptstyle ACA_v</math> ja <math>\scriptstyle AA_o</math> vastaavasti <math>\scriptstyle ABA_o</math>, voidaan edellisestä ((1) ja (2)) johtuen kirjoittaa <math>\scriptstyle |AAv| = |ACAv| = |ACA'|</math> ja <math>\scriptstyle |AAo| = |ABAo| = |ABA'|</math>.
| |||