Ero sivun ”Ulkomitta” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
läpikäyntiä |
läpikäyntiä |
||
Rivi 1:
'''Ulkomitta''' on [[mittateoria|mittateoriassa]] esiintyvä funktio, jonka avulla halutaan luoda [[mitta|mittoja]].<ref name=j1/> <ref name=m1/>
== Määritelmä ==
Olkoon <math>X</math> joukko. Kuvaus <math>\mu^*: \mathcal{P}(X) \rightarrow [0,\infty]</math> on '''ulkomitta''' jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat kolme ehtoa:
# [[Tyhjä joukko|Tyhjälle joukolle]] pätee <math>\mu^* (\emptyset) = 0</math> <ref name=j1/>
# Jos <math>A \subset B \subset X</math>, niin <math>\mu^*(A) \leq \mu^*(B)</math> <ref name=j1/>
# Jos <math>A_i \subset X</math> kaikilla <math>i \in \N</math>, niin <math>\mu^* \left( \bigcup_{i = 1}^\infty A_i \right) \leq \sum_{i = 1}^\infty \mu^* (A_i)</math>. <ref name=j1/>
Ehtoa (2) kutsutaan yleensä ''monotonisuudeksi'' tai ''kasvavuudeksi'' ja ehtoa (3) ''subadditiivisuudeksi''. <ref name=j1/>
== Joukon mitallisuus ==
Jos <math>\mu^*\,</math> on ulkomitta <math>X</math>:ssä, niin joukkoa <math>A \subset X</math> kutsutaan <math>\mu^*\,</math>''-mitalliseksi'' jos ja vain jos kaikilla <math>E \subset X</math> pätee <center><math>{\mu}^*(E) = {\mu}^*(E \cap A) + {\mu}^*(E \cap \complement A)</math>.</center>
Tätä ehtoa kutsutaan kirjallisuudessa usein ''Carathéodoryn ehdoksi''.
Rivi 18 ⟶ 16:
== Ulkomitan ominaisuuksia ==
Jos <math>B_1 \subset B_2 \subset ...</math> ovat <math>\mu^*\,</math>-mitallisia joukkoja, niin <center><math>\mu^* \left( \bigcup_{i = 1}^\infty B_i \right) = \lim_{n \rightarrow \infty} \mu^* (B_n)</math>.</center>
Rivi 28 ⟶ 25:
== Carathéodoryn lause ==
'''Carathéodoryn lause''' lause sanoo, että jos <math>\mu^* : \mathcal{P}(X) \rightarrow [0,\infty ]</math> on ulkomitta, niin sen [[rajoittuma]] <math>\mu^*\,</math>-mitallisiin joukkoihin eli funktio <math>\mu^* | \mathcal{M}_{\mu^*}(X)</math> on [[mitta]] X:ssä.
== Erityisiä ulkomittoja ==
* Ulkomittaa sanotaan ''täydelliseksi'' jos ja vain jos jokaisen nollamittaisen joukon osajoukko on mitallinen tämän ulkomitan suhteen. Voidaan osoittaa, että jokainen ulkomitta voidaan täydellistää täydelliseksi ulkomitaksi.
Rivi 42 ⟶ 37:
== Funktion mitallisuus ==
Jos <math>\mu^*\,</math> on ulkomitta joukossa X ja <math>A \subset X\,</math>, niin funktio <math>f: A \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ -\infty \} \cup \{ +\infty \}</math> on ''<math>\mu^*\,</math>-mitallinen'' jos ja vain jos avointen joukkojen alkukuvat kuvauksessa ''f'' ovat <math>\mu^*\,</math>-mitallisia. Toisin sanoen joukot <math>f^{-1} (G)\,</math>, <math>f^{-1} (\{ -\infty \} )\,</math> ja <math>f^{-1} (\{ +\infty \} )\,</math> ovat <math>\mu^*\,</math>-mitallisia kaikilla [[Avoin joukko|avoimilla joukoilla]] <math>G \subset \mathbb{R}</math>.
Rivi 55 ⟶ 49:
== Lähteet ==
{{Viitteet|viitteet=
* <ref name=m1>{{Kirjaviite | Tekijä=Thompson, Jan & Martinson, Thomas | Nimeke=Matematiikan käsikirja| Sivut=266 | Julkaisupaikka=Helsinki | Julkaisija=Tammi | Vuosi=1994 |
* <ref name=j1> {{Kirjaviite | Tekijä=Jalava, Väinö | Nimeke=Moderni analyysi I |
}}
▲* {{Kirjaviite | Tekijä=Jalava, Väinö | Nimeke=Moderni analyysi I | Selite=Opintomoniste 15 | Julkaisija=TTKK | Julkaisupaikka=Tampere | Vuosi=1976 | Tunniste=ISBN 951-720-223-7}}
[[Luokka:Mittateoria]]
| |||