Ero sivun ”Supremum” versioiden välillä

 

=== Täydellisyysaksiooma ===

Reaalilukujen joukossa on voimassa [[täydellisyysaksiooma]]:

Jos joukko <math> S \subset \R </math> on epätyhjä ja se on ylhäältä rajoitettu, on joukolla S supremum eli pienin yläraja joukossa <math> \R </math>. Epätyhjä tarkoittaa, että joukon S täytyy sisältää ainakin yksi reaaliluku. Siis jos joukko S on ylhäältä rajoitettu, niin sup(S) on olemassa.

 

==Joukon maksimi==

Joukon suurimman alkion eli maksimin on kuuluttava joukkoon kun taas supremumin ei tarvitse kuulua joukkoon. Siis jos supremum on olemassa, se ei välttämättä kuulu joukkoon S. Jos joukko S sisältää suurimman alkion eli maksimin, on se joukon S supremum.

 

 

'''c)''' Osoitetaan, että joukko ei ole ylhäältä rajoitettu näyttämällä, että joukossa on mielivaltaisen suuria lukuja. Siis joukosta löytyy mielivaltaisesti valittua rajaa suurempia lukuja.

 

==Esimerkkejä==

 

== Katso myös ==

* [[Limes superior]] Jonon äärettömän kaukana olevien alkioiden supremum

* [[Oleellinen supremum]] Joukon suppeimman positiivismittaisen osajoukon supremum

 

== Aiheesta muualla ==

* [http://mathworld.wolfram.com/Supremum.html MathWorld. Supremum]

 

== Lähteet==

*Apostol, Tom. M.: Mathematical analysis. Addison-Wesley publishing company. 3. edition. London, England, 1960, 7-8.

*Hurri-Syrjänen, Ritva. Differentiaali- ja integraalilaskenta, Luentomonisteet. Helsingin yliopisto, Syksy 1999, 11-14.

*[http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/AnalyysinPeruskurssi/supremum.pdf Huuskonen, Taneli. Analyysin peruskurssi: Supremum ja infimum. Luentomoniste-pdf. Helsingin yliopisto. Helsinki, 2006.]

*Myrberg, Lauri. Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1. 3 painos. Yhteiskirjapaino Oy, Helsinki, 1981, 17-20, 24-26.

*http://joyx.joensuu.fi/~didmatcl/anper1.pdf /