Ero sivun ”Kokonaisalue” versioiden välillä

255 merkkiä lisätty ,  2 vuotta sitten
päivitys
(päivitys)
[[Rengas (matematiikka)|Rengasta]] <math>R</math> kutsutaan '''kokonaisalueeksi''' ({{k-en|integral domain}}), jos <math>R</math> on kommutatiivinen eikä <math>R</math>:ssä ole [[nollanjakaja|nollanjakajia]].<ref name=m1/> Monet kiinnostavat renkaat ovat kokonaisalueita, muun muassa kokonais- ja reaaliluvut sekä [[jäännösluokkarengas|jäännösluokkarenkaat]] <math>\mathbb Z_m</math>, missä ''m'' on [[alkuluku]]. Kokonaisalueet käyttäytyvät monessa suhteessa samankaltaisesti kuin kokonaisluvut, joita voidaan pitää kokonaisalueiden perusesimerkkinä. Muun muassa ''n''-asteisella [[polynomi]]lla on korkeintaan ''n'' juurta kokonaisalueen ja kokonaisalueissa on voimassa supistamislaki <math>ab = ac \Rightarrow b = c</math>.
 
==Karakteristika==
Olkoot <math>b_1,b_2, ..., b_m</math> kokonaisalueen ''R'' erisuuret alkiot. Tällöin myös alkiot <math>b_1a, b_2a, ..., b_ma</math> ovat keskenään erisuuria.
Jos nimittäin olisi <math>b_ia=b_ja</math> erisuurilla indeksien <math>i</math> ja <math>j</math> arvoilla, niin olisi <math>(b_i-b_j)a=0</math>. Tällöin <math>b_i-b_j</math> ja <math>a</math> olisivat kokonaisalueen <math>R</math> nollasta eroavia nollanjakajia. Tämä on ristiriita. Alkiot <math>b_1a,b_2a, ..., b_ma</math> käyvät siis läpi kaikki kokonaisalueen <math>R</math> alkiot. Erityisesti <math>b_ka=1</math> jollakin <math>k=1,...,m</math>. Alkio <math>b_k</math> on tällöin alkion <math>a</math> käänteisalkio.
 
== Lähteet ==
{{Viitteet|viitteet=
* <ref name=m1>{{Kirjaviite | Tekijä=Thompson, Jan & Martinson, Thomas | Nimeke=Matematiikan käsikirja | Julkaisupaikka=Helsinki | Julkaisija=Tammi | Vuosi=1994 | Tunniste=ISBN 951-31-0471-0}}</ref>
}}
 
==Kirjallisuutta==