Ero sivun ”Suljettu joukko” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Usp (keskustelu | muokkaukset) w |
päivitys |
||
Rivi 2:
[[Suljettu joukko]] on [[Matematiikka|matemaattinen]] [[Joukko|joukkoa]] koskeva käsite.
Olkoon <math>(X,\mathcal{T})</math> [[topologinen avaruus]]. [[Osajoukko|Osajoukkoa]] <math>E \subset X</math> kutsutaan '''suljetuksi joukoksi''' jos ja vain jos sen [[komplementti]] <math>\complement E \in \mathcal{T}</math>. Toisin sanoen joukko on suljettu jos ja vain jos sen komplementti on avoin (topologiassa <math>\mathcal{T}</math>).<ref name=m1/>
Voidaan osoittaa, että jokainen suljettujen joukkojen [[leikkaus (matematiikka)|leikkaus]] on suljettu. Myös jokainen suljettujen joukkojen äärellinen [[yhdiste (matematiikka)|yhdiste]] eli unioni on suljettu. [[Tyhjä joukko]] on samanaikaisesti sekä suljettu että avoin, koska se toteuttaa molempien määritelmät.
Mikäli määräämme reaaliakselille <math>\mathbb{R}</math> [[itseisarvo|itseisarvon]] virittämät avoimet joukot, niin erityisesti <math>\mathbb{R}</math>:n [[avoin väli|avoimet välit]] ovat nyt avoimia joukkoja. Tästä seuraa, että esimerkiksi [[suljettu väli|suljetut välit]] <math>[a,b]</math> ovat suljettuja joukkoja, sillä niiden komplementti saadaan avoimien välien <math>]-\infty,a[</math> ja <math>]b,\infty [</math> [[yhdiste|yhdisteenä]], joka on [[topologia (matematiikka)|topologian]] määritelmän mukaan avoin joukko.
== Lähteet ==
{{Viitteet|viitteet=
* <ref name=m1>{{Kirjaviite | Tekijä=Thompson, Jan & Martinson, Thomas | Nimeke=Matematiikan käsikirja | Julkaisupaikka=Helsinki | Julkaisija=Tammi | Vuosi=1994 | Tunniste=ISBN 951-31-0471-0}}</ref>
}}
==Kirjallisuutta==
| |||