Ero sivun ”Trigonometrinen funktio” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Jni (keskustelu | muokkaukset) |
p pilkku |
||
Rivi 97:
Yksikköympyrään perustuva määritelmä ei kuitenkaan edellytä, että kulman on oltava terävä. Kuviosta voidaan todeta, että jos pisteestä (1,0) lähdetään ympyrän kehää pitkin vastapäivään kulman θ tai edelleen kulman 180°-θ verran, pisteet, joihin päädytään, ovat toistensa peilikuvia y-akselin eli suoran ''x''=0 suhteen. Koska näiden pisteiden koordinaatit ovat (cos θ, sin θ) ja (cos (180°-θ), sin (180°-θ), seuraa tästä, että
: <math>\cos{(180^
: <math>\sin{(180^
tai jos kulmayksikkönä käytetään [[radiaani]]a,
Rivi 295:
Vaikka tämän määritelmän nojalla ei olekaan heti selvää, onko tällaisia funktiota ylipäänsä olemassa tai ovatko yksikäsitteisesti määritellyt, voidaan siitä kuitenkin johtaa trigonometristen funktioiden muut ominaisuudet. [[Väliarvolause]]en avulla voidaan esimerkiksi todistaa, että tällaiset funktiot ovat [[jaksollinen funktio|jaksollisia]]<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Lauri Myrberg | Nimeke = DIfferentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1 | Sivu = 161-162 | Luku = Täydennys trigonometrisiin funktioihin | Julkaisija = Kirjayhtymä | Vuosi = 1977 | Tunniste = ISBN 951-26-0936-3}}</ref>. Niin ikään voidaan osoittaa, että nämä funktiot ovat [[derivoituvuus|derivoituvia]] ja että
: <math>D \sin (x) = \cos (x)</math> ja
: <math>D \cos (x) = -\sin (x)</math>.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Lauri Myrberg | Nimeke = Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1 | Sivu = 112 | Luku = Trigonometristen funktioiden derivaatat | Julkaisija = Kirjayhtymä | Vuosi = 1977 | Tunniste = ISBN 951-26-0936-3}}</ref>
Derivaattojen avulla voidaan edelleen johtaa näiden funktioiden [[Taylorin sarja]]t, ja tällöin todetaan, että tämä funktioiden ominaisuuksiin perustuva määritelmä on yhtäpitävä sarjakehitelmiin perustuvan määritelmän kanssa.<ref name=Myrberg2>{{kirjaviite | Tekijä = Lauri Myrberg | Nimeke = Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 2 | Sivu = 133-136 | Luku = Täydennys trigonometrisiin funktioihin | Julkaisija = Kirjayhtymä | Vuosi = 1977 | Tunniste = ISBN 951-26-0936-3}}</ref>
Rivi 363:
\begin{align}
\sin 30 ^\circ & = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5 &
\cos 30 ^\circ & = \cos \frac{\pi}{6} = \frac {\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}8660 &
\tan 30 ^\circ & = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}57735 \\
\sin 45 ^\circ & = \sin \frac{\pi}{4} = \frac {1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071 &
\cos 45 ^\circ & = \cos \frac{\pi}{4} = \frac {1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071 &
\tan 45 ^\circ & = \tan \frac{\pi}{4} = 1 \\
\sin 60 ^\circ & = \sin \frac{\pi}{3} = \frac {\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}8660 &
\cos 60 ^\circ & = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} = 0{,}5 &
\tan 60 ^\circ & = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \approx 1{,}73205 \\
\end{align}
| |||