Ero sivun ”Avoin joukko” versioiden välillä

[[Metrinen avaruus|Metrisessä avaruudessa]] avaruuden [[osajoukko]] ''A'' on ''avoin'', jonka jokaisella pisteellä ''x'' on [[ympäristö (topologia)|ympäristö]] U (''x'', <math>\epsilon</math>, joka kokonaisuudessaan sisältyy joukkoon ''A''.<ref name=Myrberg>{{kirjaviite | Tekijä = Lauri Myrberg | Nimeke = Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1 | Sivut = 30–31 | Luku = Avoin ja suljettu joukko | Julkaisija = Kirjayhtymä | Vuosi = 1977 | Tunniste = ISBN 951-26-0936-3}}</ref> Toisin sanoen jokaista joukon ''A'' pistettä ''x'' kohti voidaan valita sellainen positiivinen luku ε, että kaikki pisteet, joiden etäisyys ''x'':stä on pienempi kuin ε, kuuluvat myös joukkoon ''A''.

* Avoimien joukkojen [[yhdiste (matematiikka)|yhdiste]] on avoin joukko, olipa yhdisteessä mukana äärellinen tai ääretön määrä avoimia joukkoja.

* Sellainen avoimien joukkojen [[leikkaus (matematiikka)|leikkaus]], jossa on mukana vain äärellinen määrä avoimia joukkoja, on myös avoin joukko.

Annetun metrisen avaruuden ''A'' kaikki avoimet joukot muodostavat kokoelman, jota sanotaan avaruuden [[topologia (matematiikka)|topologiaksi]]ksi.

Jo metrisissä avaruuksissa avoimen joukon käsitteen avulla voidaan karakterisoisa monia topologisia käsitteitä kuten [[raja-arvo]] ja [[jatkuva funktio|jatkuvuus]]. Näiden käsitteiden kannalta metriikka sinänsä kuitenkin on epäoleellinen; merkitystä on vain sillä, mitkä joukot ovat avoimia. Tämä on antanut aiheen määritellä yleisempi [[topologinen avaruus|topologisen avaruuden]] käsite.

* Avoimien joukkojen [[yhdiste (matematiikka)|yhdiste]] on avoin joukko, olipa yhdisteessä mukana äärellinen tai ääretön määrä avoimia joukkoja.

* Sellainen avoimien joukkojen [[leikkaus (matematiikka)|leikkaus]], jossa on mukana vain äärellinen määrä avoimia joukkoja, on myös avoin joukko.

* Topologisen avaruuden <math>(X,\mathcal{T})</math> [[jonolukujono|jonolla]] <math>{( x_n )}_{n \in \mathbb{N}}</math> on '''[[raja-arvo]]''' pisteessä <math>a \in X</math>, jos ja vain jos jokaiselle pisteen <math>a</math> ympäristölle <math>U \in \mathcal{T}</math> löydämme indeksin <math>n_0 \in \mathbb{N}</math>, jolla <math>x_n \in U</math> kaikilla <math>n \geq n_0</math>.

* Jos <math>(X,\mathcal{T})</math> ja <math>(Y,\mathcal{T}')</math> ovat topologisia avaruuksia, niin kuvaus <math>f : X \rightarrow Y</math> on '''[[jatkuvuusjatkuva funktio|jatkuva]]''' pisteessä <math>a \in X</math> jos ja vain jos jokaiselle pisteen <math>f(a)</math> ympäristölle <math>V \in \mathcal{T}'</math> löydämme pisteen ''a'' ympäristön <math>U \in \mathcal{T}</math>, jolle <math>fU \subset V</math>. (tai yhtäpitävästi <math>U \subset f^{-1} V</math>)