Ero sivun ”Kompleksiluku” versioiden välillä

11 merkkiä lisätty ,  1 vuosi sitten
p
kh
(p)
p (kh)
Kompleksilukuja voi laskea yhteen, vähentää toisistaan tai kertoa keskenään soveltamalla [[liitäntälaki|liitäntä-]], [[vaihdantalaki|vaihdanta-]] ja [[osittelulaki|osittelulakeja]], sekä yhtälöä <math>\scriptstyle i^2 = -1</math>:
 
:<math>(x + yi) + (x' + y'i) = (x + x') + (y + y')i\,</math><ref name="s.3"> Saff ja Snider, s. 3</ref>
:<math>(x + yi) - (x' + y'i) = (x - x') + (y - y')i\,</math><ref name="s.3"></ref>
:<math>(x + yi) \cdot (x' + y'i) = xx' + xy'i + x'yi + yy'i^2 = (xx' - yy') + (x'y + xy')i\,</math><ref name="s.3"></ref>
Kompleksilukujen jakolasku lasketaan jakajan ''[[kompleksikonjugaatti|liittoluvun]]'' eli ''konjugaatin'' avulla. Kompleksiluvun <math>\scriptstyle z = x + yi \,</math> liittoluku on <math>\scriptstyle {z}^{*} = x - yi\,</math>. Määritellään kompleksiluvun ''moduuli'' eli ''[[itseisarvo]]'' <math>\scriptstyle |z| = \sqrt{x^2+y^2}</math>. Kun kompleksiluku kerrotaan liittoluvullaan, saadaan luvun itseisarvon [[neliö (algebra)|neliö]], joka on reaaliluku:
 
:<math>z{z}^{*} = (x + yi)(x - yi) = x^2-y^2 i^2 = x^2+y^2 = \sqrt{x^2+y^2} ^2 = |z|^2</math><ref name="s.11"> Saff ja Snider, s. 11</ref>
 
Kompleksilukujen jakolasku sieventyy laventamalla jakajan liittoluvulla kompleksilukujen kertolaskuksi:
 
:<math>{z_1 \over z_2} = {z_1 {z}_2^{*} \over \ z_2 {z}_2^{*}} = {z_1 {z}_2^{*} \over |z_2|^2}</math><ref name="s.12"> Saff ja Snider, s. 12</ref>
 
 
Liittolukua merkitään myös <math>\bar{z}</math>:lla.<ref name="s.10"> Saff ja Snider, s. 10</ref>
 
===Kompleksiset potenssit ja juuret===
 
Kompleksilukujen potenssit voidaan laskea käyttäen [[De Moivren kaava]]a. Tällöin saadaan, että kompleksiluvun <math>z</math> <math>n</math>:s potenssi on <math>z^{n}=r^{n}e^{in\theta}=r^{n}(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math>, missä <math>r</math> tarkoittaa kompleksiluvun <math>z</math> moduulia<ref name="s.33"> Saff ja Snider, s. 33</ref>. Kompleksilukun <math>z</math> <math>m</math>:s juuri saadaan seuraavasti: merkitään <math>\zeta=z^{\frac{1}{m}}</math>. Tällöin <math>\zeta^{m}=z</math>. Tällöin <math>m</math>:s juuri on <math>\zeta=\sqrt[m]{r}e^{i\theta/m}</math>, missä <math>r</math> tarkoittaa kompleksiluvun <math>z</math> moduulia<ref name="s.33"> Saff ja Snider, s. 33</ref>.
 
== Geometrinen tulkinta ==
[[Image:Imaginarynumber2.svg|thumb|left|265px|Kompleksiluku ''z'' piirrettynä kompleksitasolle]]
[[Image:Euler's formula.svg|thumb|right|265px|Kompleksiluku ''z'' piirrettynä kompleksitasolle käyttäen [[Eulerin kaava]]a]]
Koska kompleksiluku on järjestetty reaalilukupari, se voidaan esittää kaksiulotteisen [[koordinaatisto]]n pisteenä<ref name="s.7-8"> Saff ja Snider, s. 7–8</ref> tai [[vektori|paikkavektorina]]<ref name="s.14"> Saff ja Snider, s. 14</ref>. Kompleksilukua <math>\scriptstyle x+yi</math> kuvaa [[taso]]n piste <math>\scriptstyle P(x,y)</math> ja paikkavektori OP. Koordinaatiston toinen akseli ilmaisee kompleksiluvun reaalikomponentin ja toinen imaginaarikomponentin. Kompleksilukujen ja vektorien yhteenlaskut vastaavat toisiaan. Tasoa, jonka pisteet on määritelty vastaamaan kompleksilukuja, sanotaan ''kompleksitasoksi''.
 
Kompleksiluku voidaan esittää [[napakoordinaatisto]]n avulla muodossa <math>\scriptstyle z = r(\cos \theta + i \sin \theta)</math>, jossa <math>\scriptstyle r</math> on kompleksiluvun itseisarvo <math>\scriptstyle |z|</math>, ja <math>\scriptstyle \theta</math> on <math>\scriptstyle z</math>:n ''argumentti'', eli positiivisen reaaliakselin ja vektorin OP välinen suunnattu kulma.<ref name="s.16-17"> Saff ja Snider, s. 16–17</ref> Napakoordinaattimuodossa kompleksilukujen kerto- ja jakolaskut saadaan havainnolliseen muotoon:
 
:<math>z_1 \cdot z_2 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1) \cdot r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2) = r_1 r_2(\cos (\theta_1 + \theta_2) + i\sin (\theta_1 + \theta_2))\,</math><ref name="s.20"> Saff ja Snider, s. 20</ref>
 
:<math>{z_1 \over z_2} = {r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1) \over r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)} = {r_1 \over r_2}(\cos (\theta_1 - \theta_2) + i\sin (\theta_1 - \theta_2))\,</math><ref name="s.20"> Saff ja Snider, s. 20</ref>
 
Kompleksilukujen kertolasku voidaan siis jakaa kahteen vaiheeseen: itseisarvojen kertomiseen keskenään, eli paikkavektorin pituuden muutokseen, ja argumenttien yhteenlaskuun, eli vektorin kiertoon. Jakolaskun suhteen voidaan menetellä vastaavalla tavalla sillä erotuksella, että itseisarvojen kertolaskua vastaa jakolasku ja argumenttien yhteenlaskua vähennyslasku.