Ero sivun ”Singulariteetti (matematiikka)” versioiden välillä

'''Singulariteetti''' on yleinenmatematiikassa, erityisesti [[differentiaalilaskenta|reaali-]] ja [[kompleksianalyysi]]ssä, piste, jossa matemaattinen objekti ei ole määritelty.

Toisin sanottuna nollan käänteisalkiota[[käänteisalkio]]ta ei ole määritelty.

==Singulariteetti eroaa reaali- ja kompleksianalyysissä.==

Kompleksianalyysissä singulariteetti esiintyy neljässä eri tilanteessa. Olkoon U kompleksilukujen avoin osajoukko ja piste `a` kuuluu joukkoon U siten, että funktio f on jatkuva ja differentioituva jossakin `a`:n ympäristössä pois sulkien itse a eli joukossa U \ {a}.

Olkoon funktio f ei-jatkuva pisteessä a. Piste`a` on funktion `f` poistettava singulariteetti, jos on olemassa holemorphinen[[holomorfinen funktio]] g, joka on määritelty joukossa U siten, että f(z) = g(z) kaikilla z joukossa U\{a}. Funktio `f` korvataan jatkuvalla funktiolla `g`.

Edellistä pistettä kutsutaan ''navaksi'', jos on olemassa holomorphinen funktio `g` joukossa U ja luonnollinen luku `n` siten, että f(z) = g(z) / (z -a) kaikilla z joukossa U \ {a}.

Edellistä singulariteettia kutsutaan "non-essential"epäoleelliseksi singulariteetiksi.

Singulariteetti on "essential" eli oleellinen, jos ja vain jos funktion [[Laurentin sarjallasarja]]lla pisteen ympäristössä on äärettömän monta potenssia, joiden aste on negatiivinen.

Sivuhaarojen pisteet ovat moniarvoisten funktioiden tulos, toisin kuin eristetyt singulariteetit. Esimerkiksi log(z) on määritelty joillakin rajoilla siten, että funktio voidaan tehdä vakiofunktioksiavakiofunktioksi alkujoukossa (Huom! suomennos)lähtöjoukossa{{selvennä}}. Kompleksianalyysissä asetetaan usein analyyttisyysraja, jotta voidaan erottaa funktion ei-jatkuvat pisteet. Funktio saa tämän rajan ympärillä eri arvoja. Analyyttisyysrajan sijainnilla ja muodolla yksikkökiekossa ei ole yleensä merkitystä.