Ero sivun ”Funktion differentiaali” versioiden välillä

p
Botti päivitti vanhentuneen matemaattisen syntaksin; ks. mw:Extension:Math/Roadmap
p (p)
p (Botti päivitti vanhentuneen matemaattisen syntaksin; ks. mw:Extension:Math/Roadmap)
 
 
== Usean muuttujan funktiot ==
Usean muuttujan funktio, joka saa reaalilukuarvoja, on [[skalaarikenttä]] <math>f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>. Funktio ''f'' on differentioituva tarkastelupisteessä <math>\boldmathbf{x_0} \in \mathbb{R}^n</math>, jos sillä on olemassa siinä pisteessä, ja pisteen lähiympäristössä, kaikkien muuttujiensa osittaisderivaatat. Silloin funktiolla on olemassa myös gradientti ja funktiolle voidaan kirjoittaa differentiaalikehitelmä
:<math>f(\boldmathbf{x_0}+\boldmathbf{h})-f(\boldmathbf{x_0})= \nabla f(\boldmathbf{x_0}) \cdot \boldmathbf{h} + ||\boldmathbf{h}|| \epsilon(\boldmathbf{x_0},\boldmathbf{h}),</math>
missä <math>\boldmathbf{x_0}, \, \boldmathbf{h} \in \mathbb{R}^n</math> ja kertolasku on vektorien pistetulo. Kehitelmässä lauseke
:<math>\nabla f(\boldmathbf{x_0}) \cdot \boldmathbf{h}</math>
on funktion differentiaali ''df''. Merkintä <math>\nabla f(\boldmathbf{x_0})</math> (lue ''"nabla f"'') tarkoittaa funktion gradienttia pisteessä <math>\boldmathbf{x_0}</math>. Gradientti ilmaisee funktion suunnatun derivaatan suurimman arvon ja suunnan. Kun gradientti kerrotaan sunnalla <math>\boldmathbf{h}</math>, saadaan tarkastelupisteen suunnatun derivaatan arvo suunnassa <math>\boldmathbf{h}</math>.
 
== Lähteet ==
85

muokkausta