Ero sivun ”Disjunktio” versioiden välillä

54 merkkiä lisätty ,  1 vuosi sitten
p
Botti päivitti vanhentuneen matemaattisen syntaksin; ks. mw:Extension:Math/Roadmap
p (Botti päivitti vanhentuneen matemaattisen syntaksin; ks. mw:Extension:Math/Roadmap)
[[Kuva:Venn0111.svg|220px|thumb|Lausetta <math>\scriptstyle A \orlor B</math> vastaava [[Venn-diagrammi]]]]
[[Kuva:Venn 0111 1111.svg|220px|thumb|Lausetta <math>\scriptstyle A \orlor B \orlor C</math> vastaava Venn-diagrammi]]
 
'''Disjunktio''' on [[propositiologiikka|propositiologiikassa]] kaksipaikkainen [[looginen konnektiivi]], joka vastaa yleiskielen sanaa ''[[tai]]''. Sillä muodostettu yhdistetty lause on tosi, jos ainakin yksi sen yhdistämistä lauseista on tosi, muussa tapauksessa epätosi.<ref name=Standord>{{verkkoviite | Osoite = http://plato.stanford.edu/entries/disjunction/ | Nimeke = Disjunction | Julkaisija = Stanford Enclycopedia of Philosophy | Viitattu = 9.4.2015}}</ref> Lauseiden ''A'' ja ''B'' disjunktiolle käytetään merkintää <math>A \orlor B</math>.
 
Näin määritellystä disjunktiosta käytetään myös nimitystä ''inklusiivinen tai'' eli ''inklusiivinen disjunktio'' erotukseksi [[eksklusiivinen disjunktio|eksklusiivisesta disjunktiosta]] ("joko A tai B, mutta ei molemmat"), joka on tosi vain silloin, jos vain toinen sen yhdistämistä lauseista on tosi.<ref name=Ensyklopedia>{{kirjaviite | Nimeke = Otavan suuri ensyklopedia, 5. osa (Kriminologia–Makuaisti) | Sivu = 3800 | Kirjoittaja = Ilkka Niiniluoto | Luku = Logiikka (Lauselogiikka, Konnektiivit) | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1978 | Tunniste = ISBN 951-1-04827-9}}</ref> Koska sanaa ''tai'' käytetään tavallisessa kielessä eri yhteyksissä kummassakin merkityksessä, inklusiivista disjunktiota tarkoitettaessa käytetään mahdollisen väärin­käsityksen välttämiseksi nykyisin joskus ilmaisua ''[[ja/tai]]''.
== Merkinnät ==
 
Loogiselle disjunktiolle käytetään kirjallisuudessa useita eri symboleja. Sanan "tai" ({{k-en|or}}) ohella sille käytetään yleisesti symbolia "<math>\orlor</math>",<ref name=Hazewinkel>{{kirjaviite | Nimeke = Encyclopedia of Mathematics | Kirjoittaja = Michiel Hazewinkel | Luku = Disjunction | Julkaisija = Springer, The European Mathematical Society | Vuosi = 2001 | Tunniste = ISBN 978-1-55608-010-4 | www = http://plato.stanford.edu/entries/disjunction/}}</ref> joka on muodostettu [[latina]]n sanan ''vel'' ("tai") alkukirjaimesta.<ref name=Standord /> Esi­merkiksi "''A'' <math>\orlor</math> ''B''&nbsp;" luetaan "''A'' tai ''B''". Tällainen disjunktio on epä­tosi vain jos sekä ''A'' että ''B'' ovat epä­tosia lauseita, muussa tapauksessa se on tosi.
 
Kaikki seuraavat ovat disjunktiota:
: <math>A \orlor B</math>
: <math>\neg A \orlor B</math>
: <math>A \orlor \neg B \orlor \neg C \orlor D \orlor \neg E.</math>
 
[[Boolen algebra]]ssa disjunktiolle käytetään merkintää <math>A + B</math>. [[Jan Lukasiewicz]]in [[puolalainen notaatio|prefiksinotaatiossa]] disjunktion merkkinä käytetään A-kirjainta, joka on lyhenne [[puolan kieli|puolan kielen]] sanasta ''alternatywa''. Tällöin lauseiden ''p'' ja ''q'' disjunktio merkitään A''pq''.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Jósef Maria Bocheński | Nimeke = A Précis of Mathematical Logic | Selite = Otto Bird kääntänyt englanniksi ranskalaisista ja saksalaisista laitoksista | Julkaisija = D. Reidel | Julkaisupaikka = Dordrecht | Vuosi = 1959}}</ref>
[[Kuva:Multigrade operator OR.svg|thumb|Vasemmalla olevien argumenttien disjunktiot: arvon epätosi saavat [[bitti|bitit]] muodostavat [[Sierpinskin kolmio]]n.]]
 
Operaation <math>~A \orlor B</math> [[totuustaulu]] on seuraava:<ref name=Hazewinkel />
 
{| class="wikitable" style="margin: 0 0 1em 1em"
|colspan=2|'''LAUSEET''' || '''DISJUNKTIO'''
|- bgcolor="#ddeeff" align="center"
| <math> A</math>|| <math>B</math> || <math> A \orlor B</math>
|- bgcolor="#ddffdd" align="center"
|tosi || tosi || tosi
{| style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;"
|-
|<math>A \orlor B</math>
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\Leftrightarrow</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|<math>B \orlor A</math>
|-
|[[Kuva:Venn0111.svg|50px]]
|-
|<math>~A</math>
|<math>~~~\orlor~~~</math>
|<math>(B \orlor C)</math>
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\Leftrightarrow</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|
|
|<math>(A \orlor B)</math>
|<math>~~~\orlor~~~</math>
|<math>~C</math>
|-
|[[Kuva:Venn 0101 0101.svg|50px]]
|<math>~~~\orlor~~~</math>
|[[Kuva:Venn 0011 1111.svg|50px]]
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\Leftrightarrow</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\Leftrightarrow</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|[[Kuva:Venn 0111 0111.svg|50px]]
|<math>~~~\orlor~~~</math>
|[[Kuva:Venn 0000 1111.svg|50px]]
|}
|-
|<math>~A</math>
|<math>\orlor</math>
|<math>(B \andland C)</math>
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\Leftrightarrow</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|
|
|<math>(A \orlor B)</math>
|<math>\andland</math>
|<math>(A \orlor C)</math>
|-
|-
|[[Kuva:Venn 0101 0101.svg|50px]]
|<math>\orlor</math>
|[[Kuva:Venn 0000 0011.svg|50px]]
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\Leftrightarrow</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\Leftrightarrow</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|[[Kuva:Venn 0111 0111.svg|50px]]
|<math>\andland</math>
|[[Kuva:Venn 0101 1111.svg|50px]]
|}
|-
|<math>~A</math>
|<math>\orlor</math>
|<math>(B \leftrightarrow C)</math>
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\Leftrightarrow</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|
|
|<math>(A \orlor B)</math>
|<math>\leftrightarrow</math>
|<math>(A \orlor C)</math>
|-
|-
|[[Kuva:Venn 0101 0101.svg|50px]]
|<math>\orlor</math>
|[[Kuva:Venn 1100 0011.svg|50px]]
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\Leftrightarrow</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|-
|<math>~A</math>
|<math>\orlor</math>
|<math>(B \rightarrow C)</math>
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\Leftrightarrow</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|
|
|<math>(A \orlor B)</math>
|<math>\rightarrow</math>
|<math>(A \orlor C)</math>
|-
|-
|[[Kuva:Venn 0101 0101.svg|50px]]
|<math>\orlor</math>
|[[Kuva:Venn 1100 1111.svg|50px]]
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\Leftrightarrow</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|-
|<math>~A</math>
|<math>\orlor</math>
|<math>(B \orlor C)</math>
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\Leftrightarrow</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|
|
|<math>(A \orlor B)</math>
|<math>\orlor</math>
|<math>(A \orlor C)</math>
|-
|-
|[[Kuva:Venn 0101 0101.svg|50px]]
|<math>\orlor</math>
|[[Kuva:Venn 0011 1111.svg|50px]]
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\Leftrightarrow</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\Leftrightarrow</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|[[Kuva:Venn 0111 0111.svg|50px]]
|<math>\orlor</math>
|[[Kuva:Venn 0101 1111.svg|50px]]
|}
|-
|<math>~A~</math>
|<math>~\orlor~</math>
|<math>~A~</math>
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\Leftrightarrow</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|-
|[[Kuva:Venn01.svg|36px]]
|<math>~\orlor~</math>
|[[Kuva:Venn01.svg|36px]]
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\Leftrightarrow</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|
|
|<math>(A \orlor C)</math>
|<math>\rightarrow</math>
|<math>(B \orlor C)</math>
|-
||[[Kuva:Venn 1011 1011.svg|50px]]
{| style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;"
|-
|<math>A \andland B</math>
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\Rightarrow</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|<math>A \orlor B</math>
|-
|[[Kuva:Venn0001.svg|50px]]
{| style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;"
|-
|<math>A \orlor B</math>
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\Rightarrow</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|<math>A \orlor B</math>
|-
|[[Kuva:Venn0111.svg|60px]]
* '''Epälineaarisuus: 1''' (funktio on [[taivutettu funktio|taivutettu]])
 
Jos totuusarvoille käytetään [[binääriluku]]merkintöjä tosi (1) ja epätosi (0), looginen disjunktio toimii lähes samoin kuin binäärinen yhteen­lasku. Erona on vain se, että <math>1\orlor 1=1</math>, kun taas binääri­järjestelmässä <math>1+1=10</math>.
 
== Sovellukset tietotekniikassa ==
==Unioni==
 
Disjunktiota vastaava operaatio [[joukko-oppi|joukko-opissa]] on [[unioni]]. Kahden joukon unioni määritelläänkin disjunktion avulla: <math> a \in A \cup B</math>, jos ja vain jos <math> a \in A \orlor a \in B</math>. Toisin sanoen alkio ''a'' kuuluu joukkojen ''A'' ja ''B'' unioniin, jos ja vain jos se kuuluu näistä joukoista ainakin toiseen. Tämän vuoksi joukko-opillinen unioni noudattaa pitkälti samoja sääntöjä kuin disjunktiokin: sillekin pätevät vaihdanta-, liitäntä-, osittelu- ja [[de Morganin lait]].
 
== Luonnolliset kielet ==
87

muokkausta