Ero sivun ”Ordinaali” versioiden välillä

Ei muutosta koossa ,  2 vuotta sitten
p
p (Diskreetti avaruus|)
Jokaisen ordinaalin kaikki alkiotkin ovat ordinaaleja. Jos ''S'' ja ''T'' ovat kaksi ordinaalia, ''S'' on ''T'':n alkio, jos ja vain jos ''S'' on ''T'':n [[osajoukko|aito osajoukko]]. Lisäksi jos ne ovat kaksi eri ordinaalia, aina joko ''S'' on ''T'':n alkio tai ''T'' ''S'':n alkio. Lisäksi jokainen ordinaalien joukko on hyvin­järjestetty. Tämä yleistää sen tosiasian, että jokainen luonnollisten lukujen joukon osajoukko on hyvin­järjestetty.
 
Tästä seuraa, että jokainen ordinaali ''S'' on joukko, jonka alkiona ovat kaikki ''S'':ää pienemmät ordinaalit ja vain ne. Esimerkiksi jokaisella ordinaalien joukolla on pienin yläraja eli [[supremum]], joka on se ordinaali, joka saadaan muodostamlla joukon kakkkienkaikkien ordinaalien unioni. Unioniaksiooman nojalla tämä unioni on olemassa riippumatta siitä, kuinka suuri joukko on kyseessä.
Kaikkien ordinaalien luokka ei ole joukko. Jos se olisi joukko, voitaisiin osoittaa, että se on ordinaali ja näin ollen itsensä jäsen, mikä kuitenkin on ristiriidassa sen kanssa, että jäsenyys on ''aidosti'' järjestetty. Tämä on [[Buralin–Fortin paradoksi]]. Kaikkien ordinaalien luokalle käytetään vaihdellen merkintöjä "Ord", "ON" tai "∞".
21 558

muokkausta