Ero sivun ”Seitsenkulmio” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p tagifiksejä |
KLS (keskustelu | muokkaukset) Sitä ei voi konstruoida klassisten sääntöjen mukaan harpilla ja viivoittimella, neusis-konstruktiolla kylläkin. |
||
Rivi 8:
Jos lisäksi eripituisten [[lävistäjä (geometria)|lävistäjien]] pituudet ovat ''d<sub>1</sub>'' ja ''d<sub>2</sub>'', on voimassa ''1/a = 1/d<sub>1</sub> + 1/d<sub>2</sub>''. Tämä tulos seuraa helposti [[Ptolemaioksen lause]]esta. Jos valitaan indeksointi siten, että <math>d_1<d_2</math>, on voimassa <math>d_1=\frac{\sqrt{7}}{2a^{2}}-\sqrt{\frac{7}{4a^4}-\frac{\sqrt{7}}{a}}</math> ja <math>d_2=\frac{\sqrt{7}}{2a^{2}}+\sqrt{\frac{7}{4a^4}-\frac{\sqrt{7}}{a}}</math><ref>http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=577568</ref> sekä <math>\frac{d_1^2}{a^2}+\frac{d_2^2}{d_1^2}+\frac{a^2}{d_2^2}=5</math><ref>http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=151&t=371285</ref>
Säännöllinen seitsenkulmio voidaan jakaa seitsemään yhtenevään [[tasakylkinen kolmio|tasakylkiseen kolmioon]]. Jos seitsenkulmio on [[ympyrän sisään piirretty]], näiden kolmioiden kaksi kärkeä on ympyrän kehällä ja kolmas ympyrän keskipisteessä. Kulma, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä, on suuruudeltaan 360/7 = 51 3/7 astetta eli <math>\frac{2\pi}{7}</math> [[radiaani]]a.
== Konstruointi ==
Koska luku [[7 (luku)|7]] on pariton [[alkuluku]], joka ei kuulu [[Fermat’n luku|Fermat’n alkulukuihin]], säännöllistä seitsenkulmiota ei voida klassisten sääntöjen mukaan [[geometrinen konstruktiotehtävä|piirtää harpilla ja viivoittimella]]. Tämä seuraa siitä, että <math>2 \cos{\frac{2\pi}{7}} \approx 1.247</math> on jaottoman [[kolmannen asteen yhtälö|kolmannen asteen polynomin]] <math>x^3 + x^2 - 2x - 1</math> nollakohta. Näin ollen tämä polynomi on <math>2 \cos{\frac{2\pi}{7}}</math>:n [[minimaalipolynomi]]. Näin konstruoitavissa ovat kuitenkin vain sellaiset pisteet ja etäisyydet, joiden minimaalipolynomin aste on kahden potenssi.
Jos sen sijaan viivoittimeen sallitaan tehdä merkintöjä ja sallitaan sen liu'uttaminen annetun pisteen ympäri, tällaisen viivoittimen ja harpin avulla voidaan piirtää myös säännöllinen seitsenkulmio. Tällöin kyseessä ei kuitenkaan ole enää klassinen [[geometrinen konstruktiotehtävä|geometrinen konstruktio]], vaan tällaisia konstruktioita sanotaan [[neusis]]-konstruktioiksi.
|[[Tiedosto:Neusis-heptagon.png|right|thumb|250px]]<br>Neusis-konstruktio säännöllisen seitsenkulmion sisäkulman piirtämiseksi.]]
Tämä voidaan tehdä useammallakin tavalla. Eräs neusis-konstruktio, jolla säännöllinen seitsenkulmio voidaan konstruoida, on seuraava:
Piirretään ensin neliö OPQR sekä sen sivujen OP ja QR yhteinen [[keskinormaali]] ja jatketaan sitä neliön ulkopuolelle. Piirretään O keskipisteenä ja lävistäjä OQ säteenä ympyrä ja jatketaan sivua OP sinne saakka, missä se leikkaa tämän ympyrän.
Kaikki tähän mennessä suoritetut toimenpiteet voidaan suorittaa klassisten sääntöjen mukaan geometrisena konstruktiona. Seuraava vaihe on kuitenkin neusis-konstruktio: piirretään pisteen P kautta kulkeva, neliön sivun pituinen jana, jonka toinen päätepiste (A) on neliön sivuille piirretyllä keskinormaalilla, toinen taas edellä piirretyllä ympyrällä. Tämä edellyttää, että viivoittimeen on merkitty kaksi pistettä, joiden välinen etäisyys on sama kuin neliön sivu.
Tämän jälkeen piirretään pisteestä A lähtevä, neliön kärkipisteen O kautta kulkeva jana, joka sekin on neliön sivun pituinen. Tämä jana sekä jana AB ovat kaksi säännöllisen seitsenkulmion sivuista. Kun täten on saatu konstruoiduiksi säännöllisen seitsenkulmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma, voidaan kuvio täydentää säännölliseksi seitsenkulmioksi.
{| class=wikitable width=480
|[[File:Approximated Heptagon Inscribed in a Circle.gif]]<br>Animaatio
|}
| |||