Ero sivun ”Kompaktius” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 8:
normitopologialla varustettu osajoukko on kompakti tarkalleen silloin kun se on
[[suljettu joukko|suljettu]] ja [[rajoitettu joukko|rajoitettu]].
== Historia ja motivaatio ==
Käsitteen ''kompaktius'' esitti [[Maurice René Fréchet|Fréchet]] vuonna [[1906]]. Tätä ennen oli jo pitkään huomattu, että kompakti avaruuden tyyppinen käsite on välttämätön useiden hyödyllisten teoreemojen todistamisessa. Tällöin useimmiten kompaktiudella tarkoitettiin "jonokompaktiutta" (jokaisella [[jono]]lla on suppeneva osajono). Näitä ideoita käytettiin lähinnä [[metrinen avaruus|metrisiä avaruuksia]] tutkittaessa. "Peitekompaktius" osoittautui vielä lupaavammaksi, sillä sen avulla päästiin tutkimaan yleisiä topologisia avaruuksia, jolloin useat metristä avaruutta koskevat tulokset voitiin yleistää topologisille avaruuksille. Tämä on erityisen hyödyllistä [[funktioavaruus|funktioavaruuksia]] tutkittaessa, sillä useimmat näistä eivät ole metrisiä.
Yksi syi opiskella kompaktien joukkojen topologiaa on se, että ne ovat tietyllä tapaa samanlaisia kuin [[äärellinen joukko|äärelliset joukot]]. Monet äärellisiä joukkoja koskevat tulokset yleistyvät pienillä muutoksilla kompakteja avaruuksia koskeviksi tuloksiksi. Joidenkin matemaatikkojen mielestä "kompaktius on seuraavaksi paras joukkojen ominaisuus äärellisyyden jälkeen". Esimerkiksi on voimassa
* Olkoon ''X'' Hausdoff ja valitaan ''X'':stä piste ''x'' sekä äärellinen osajoukko ''A'', joka ei sisällä ''x'':ää. Nyt ''x'':lle ja ''A'':lle voidaan löytää erilliset ympäristöt, olkoon ''x'':n ympäristö ''U''(''x'') ja ''A'':n pisteen ''a'' ympäristö ''V''(''a''). Tällöin leikkaus kaikista ''U''(''x'') ja yhdiste kaikista ''V''(''a'') ovat vaaditut ''x'':n ja ''A'':n ympäristöt.
Huomaa, että jos ''A'' on [[ääretön]], ei lause ole välttämättä voimassa mielivaltaisen monelle ympäristölle, sillä leikatessa joukkoja voi jokin ''x'':n ympäristö leikkautua kokonaan pois. Väite on kuitenkin voimassa, jos ''A'' on kompakti: Otetaan äärellinen ''A'':n osapeite {''V''(''a'')}. Tällä tavoin nähdään, että Hausdorffin avaruudessa jokainen piste voidaan erottaa ympäristöllä kompakteista joukoista, joka ei sisällä kyseistä pistettä. Toistamalla päättelyä nähdään, että kaksi erillistä kompaktia joukkoa voidaan Hausdoffin avaruudessa erottaa ympäristöillä. Tässä siis ikään kuin äärellisen joukon alkio on korvattu kompaktilla joukolla Hausdorffin avaruudessa.
== Määritelmät ==
| |||