Ero sivun ”Joukko-oppi” versioiden välillä

Jo 400-luvulla eaa. [[antiikin kreikka|kreikkalainen]] matemaatikko [[Zenon Elealainen]] kuten samanaikaisesti myös [[intia]]laiset matemaatikot painiskelivat [[ääretön|äärettömän]] käsitteen ongelmakohtien parissa. Aiheen myöhemmistä tutkijoista erityislaatuisen huomion saa [[Bernard Bolzano]] 1800-luvun alussa.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Bernard Bolzano, Jan Berg | Nimeke = Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre|Sivu=152 | Kirjasarja = Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, muokanneet Eduard Winter ym. | Julkaisija = Friedrich Frommann Verlag|Julkaisupaikka=Stuttgart, Bad Cannstatt| | Vuosi = 1975 | Tunniste = ISBN 3-7728-0466-7}}</ref> NykyinenkaltainenNykyisenkaltainen käsitys äärettömyyden olemuksesta sai alkunsa vuosina 1867&ndash;1871 Cantorin tutkiessa [[lukuteoria]]a. Vuonna 1872 Cantor tapasi [[Richard Dedekind]]in ja sai häneltä vaikutteita ajatuksiinsa, jotka johtivat vuonna 1874 julkaistuun tutkielmaan.

Joukko-opin toinen tärkeä kehitysvaihe sattui 1900-luvun alkuun, kun havaittiin, että Cantorin joukko-oppi johti erinäisiin risti­riitoihin, joita sanotaan [[antinomia|anti­nomioksi]] tai [[paradoksi|para­dokseiksi]]. [[Bertrand Russell]] ja [[Ernst Zermelo]] löysivät toisistaan riippumatta yksin­kertaisimman ja tunnetuimman paradoksin, jota nykyisin tunnetaan [[Russellin paradoksi]]ksinana. Se käsittelee kaikkien niiden joukkojen joukkoja, jotka eivät ole itsensä alkioita, mikä johtaa risti­riitaan, sillä tämän joukon olisi oltava itsensä alkio siinä ja vain siinä tapauksessa, ettei se sellainen ole. Vuonna 1899 Cantor oli itse asettanut kysymyksen siitä, mikä on kaikkien joukkojen joukon [[kardinaliteetti]], ja havaitsi myös tämän kysymyksen johtavan paradoksiin. Russell käytti para­doksiaan teemana vuonna 1903 laatimassaan yhteen­vedostavedossa manner­maisesta matematiikasta teoksessaan ''[[The Principle of Mathematics]]'' opuksessaan.

Joukko-oppi oli kuitenkin levinnyt matemaatikkojen keskuudessa jo niin laajalti omaksutuksi, että väittely para­dokseista ei johtanut sen hylkäämiseen. [[Zermelo]]n työ vuodelta 1908 ja [[Abraham Fraenkel]]in työ vuodelta 1922 johtivat aksiooma­järjestelmään [[ZFC]], josta tuli yleisimmin käytetty joukko-opin aksioomajärjestelmä. [[Reaalianalyysi]]n tutkijat kuten [[Henri Lebesgue]] osoittivat joukko-opin suuren matemaattisen käyttökelpoisuuden, ja siitä onkin sittemmin tullut modernin matematiikan perusta. Sitä käytetään usein perustavana järjestelmänä, vaikkakinvaikka on tosiasia että joillakin matematiikan aloilla [[kategoriateoria]]a pidetään parempana perustana.