Ero sivun ”Gradientti” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p turhaa johdattelevaa tekstiä pois |
harvemmin ”varoituskolmio” lepää kärjellään; typoja |
||
Rivi 1:
'''Gradientti''' on matemaattinen [[differentiaalioperaattori]], joka operoi [[skalaarifunktio]]ihin{{selvennä|Mitä tarkoittaa "operoi johonkin"}} (kts. myös [[Roottori (matematiikka)|roottori]] ja [[divergenssi]]). Esimerkiksi kolmen muuttujan [[funktio]]n gradientti merkitään ''grad''(f) tai <math>\nabla f</math> ja määritellään
:<math>\nabla f(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z) \vec{i} + \frac{\partial}{\partial y} f(x,y,z) \vec{j} + \frac{\partial}{\partial z} f(x,y,z) \vec{k} </math>,
missä
:<math> \nabla = \vec{i} \partial_x + \vec{j} \partial_y + \vec{k} \partial_z </math>.
Yleisen ''n'' muuttujan funktion gradientti määritellään
Rivi 8:
:<math> \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1, & x_2, & \cdots, & x_n \end{bmatrix}^T </math>.
Gradientti on derivaatan yleistys funktioille <math>f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math>, ja seuraava askel funktioille <math>\mathbf{f}: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^p</math> on niin sanottu [[Jacobin matriisi]]. Gradientti on ”täysiverinen” vektori.{{selvennä|Miten se eroaa puoliverisistä?}} Funktio kasvaa voimakkaimmin gradientin suuntaan ja vähenee voimakkaimmin negatiivisen gradientin suuntaan.<ref>{{Kirjaviite | Tekijä = Adams, Robert A.| Nimeke = Calculus: A Complete Course| Vuosi = 6. painos| Luku = 12.7 Gradients and Directional
== Gradientin avulla tehtyjä määritelmiä ja laskusääntöjä ==
Rivi 23 ⟶ 22:
Gradientin avulla voidaan määrittää helposti myös [[suunnattu derivaatta]]: Funktion suunnattu derivaatta vektorin <math>\vec{e}</math> suuntaan on
:<math> \partial_{\vec{e}} f(\mathbf{x}) = \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \vec{e}_0 </math>,
missä <math>\vec{e}_0\;</math> on <math>\vec{e}\;</math>:n suuntainen [[yksikkövektori]] (vektori, jonka pituus on yksi). Pistetulo on suurin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa gradientin suuntaan ja pienin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa negatiivisen gradientin suuntaan.<ref>{{Kirjaviite | Tekijä = Adams, Robert A.| Nimeke = Calculus: A Complete Course| Vuosi = 6. painos| Luku = 12.7 Gradients and Directional
=== Ketjusääntö ===
Rivi 53 ⟶ 52:
==Lähteet==
{{Viitteet}}
== Kirjallisuutta ==
| |||